Равенство отрезка и радиуса.

[Imperator]

В треугольнике $ABC$ через середину $M$ стороны $BC$ и центр $O$ вписанной в этот треугольник окружности проведена прямая $MO,$ которая пересекает высоту $AH$ в точке $E.$ Докажите, что отрезок $AE$ равен радиусу вписанной окружности.

[neo66]

Задача,действительно, очень красивая. Решение есть в книге В.В. Прасолова "Задачи по планиметрии".

[Imperator]

neo66, а в чем заключается идея?

[Lion]

Судя по картинке, нужно доказать, что четырехугольник $AENO$ --- параллелограмм, где $ON$ --- радиус, проведенный к стороне $BC$. То, что $AE\| ON$, очевидно. Дальше думаем...

[neo66]

Imperator писал(а):

neo66, а в чем заключается идея?

Идея!: Пусть KN - диаметр, ортогональный к стороне BC, где N - лежит на стороне BC. Соеденим A с K и продолжим до пересечения с BC. Обозначим эту точку пересечения через L. Тогда BN = LC. Дальше уже нетрудно.