Стереометрия. Задачка про наклонные и т.п

[int13]

Здраствуйте. Сегодня пытался решить одну задачу... Многа думал.., но ничего не вышло, может вы сможете мне помочь:

Гипотенуза прямоугольного треугольника лежит в плоскости $alpha a катеты наклонены к этой плоскости под углами 30 и 45 градусов. Найти угол между плоскостью $alpha и плоскостью треугольника

Вот что я пытался сделать:
1) Рисунок: http://www.humora.net.ru/Files/zad1.jpg (Сорри, но художник из меня плохой)
2) Вот как я пытался её решить:
- Построил перпендикуляр $BB1
- Рассм. $ABB1: => угол $ABB1=60 гр.
- Рассм. $CBB1: => угол $CBB1=45 гр.
- По теореме от трех перпенд. прямых, $AB1C - проэкция $ABC на пл-ть $alpha
А вот дальше я что-то вообще ничего не понял. Пытался принять BB1 за икс, пытался вычислить какие то косинусы, синусы но ничего из этого не вышло...

[RIP]

Для начала вспомните определение угла между плоскостями. После этого постройте угол, которого не хватает на этом чертеже (проведите высоту к гипотенузе в $\Delta ABC$). А дальше уже проблем быть не должно. (Мысль обозначить $BB_1=x$ неплохая.)

Добавлено спустя 2 минуты:

int13 писал(а):

- По теореме от трех перпенд. прямых, $AB_1C - проекция $ABC на пл-ть $\alpha$

Это следует не из теоремы о 3 перпендикулярах, а из определения проекции.

[int13]

(Мысль обозначить $BB1 за икс неплохая.)

Правда ? Я думал что это бесполезная мысль.., а вообще, как закончить задачу то, что-то все равно не въеду Надеюсь для этого ненадо для этого использовать всякие синусы, косинусы, а то я в них опять запутаюсь...
ЗЫ: Ну хотя-бы ответ напишите какой должен получиться, а я буду под него подстраиваться...

[RIP]

Как раз всякие синусы-косинусы и придется считать. Вы сначала определитесь, какой угол надо считать, а потом уже думайте над тем, как.
Задачу я не буду решать, поэтому численный ответ мне неизвестен.

[xolms]

Прикинул в уме, врде ответ 60. Перпендикуляр лучше за 1 принять- меньше букв. А дальше все стороны считаются и высота(!).

[int13]

Вот, посмотрите еще раз, я обновил рисунок:
www.humora.net.ru/Files/zad1.jpg
Я так понял, здесь нужно искать угол BFB1 ?

И еще: Этот угол можно найти только из треугольника BB1F, а в этом треугольнике нам известно, лишь то, что угол BB1F=90 град. Кажется надо как-то найти еще один угол...(?)

[RIP]

Да, Вы правильно поняли. Есть ли трудности в его нахождении?

[Brukvalub]

Попробуйте воспользоваться тем, что площадь проекции фигуры получается умножением площади самой фигуры на косинус угла проектирования.

[int13]

Brukvalub писал(а):

Попробуйте воспользоваться тем, что площадь проекции фигуры получается умножением площади самой фигуры на косинус угла проектирования.

Хм, площадь ? А вы уверены, что она здесь нужна ? Ведь в условии задачи, не дано ни одной стороны, лишь два угла...
То есть вы предлагаете выразить косинус угла проэктирования (это и есть, то что надо найти) выразить из этой формулы, а для этого нужно знать площади этих двух треугольников ?

А как вычислить тот угол, я так и не понял...

[RIP]

int13 писал(а):

А как вычислить тот угол, я так и не понял...

Как Вы верно заметили, треугольник $BB_1F$ прямоугольный, поэтому для нахождения угла достаточно найти какие-нибудь 2 его стороны, а точнее, их отношение. Почитайте внимательно всё обсуждение.

[int13]

Хм.., отношение...ну вот, к примеру, я сейчас размышляю на ходу... BB1=1, то $B1F=sqrt(BF^2-1)... или это совсем не то...

Да, а кстати, если я например найду это отношение, что мне с ним дальше то делать ?

[RIP]

int13 писал(а):

Хм.., отношение...ну вот, к примеру, я сейчас размышляю на ходу... BB1=1, то $B1F=sqrt(BF^2-1)... или это совсем не то...

Да, а кстати, если я например найду это отношение, что мне с ним дальше то делать ?

Если Вы найдете какое-нибудь отношение, то вспомните определение тригонометрических функций.
Если $BB_1=1$, то подумайте, какие отрезки на Вашем чертеже Вы можете найти. Какие-то углы Вам ведь известны.

[int13]

Эээ... ну я смогу наверное найти BC (BC=2, т.к против угла 3- гр. etc.), потом АВ=ВВ1=1 вроде бы.., В1С будет равно корень из (4-1), т.е корень из 3, если хорошенько повозится с корнями, можно найти АС, АВ и ВС... а потом.. .эээ...

В принципе, вроде даже можно найти площади этих двух треугольников, а потом по той форуме найти косинус проэкции, но корней будет целая куча, мне почему то кажется, что её можно решить более легким путём...

[Capella]

Зачем усложнять всё решение. Вы делайте уже одним методом...
Рассмотрите треугольник $\triangle BMB_1$, где $M$ точка на прямой $AC$. Отрезок $BM$ будет гипотенузой $\triangle BMB_1$ и высотой $\triangle ABC$, а отрезок $B_1M$ будет катетом $\triangle BMB_1$ и высотой $\triangle AB_1C$ (и попутно проекцией на $\alpha$ отрезка $BM$).
Берёте и задаёте теперь как хотите отрезок $BB_1$ (я советую взять единичный масштаб), находите все стороны через тригонометрическии отношения (углы-же Вам известны), потом находите высоты треугольников (для их нахождения испоьзуете найденые стороны и формулу, выражающую высоту через стороны) и через какой-нибудь арккосинус считаете угол $BMB_1$

PS $M = F$

[RIP]

int13 писал(а):

Эээ... ну я смогу наверное найти BC (BC=2, т.к против угла 3- гр. etc.), потом АВ=ВВ1=1 вроде бы.., В1С будет равно корень из (4-1), т.е корень из 3, если хорошенько повозится с корнями, можно найти АС, АВ и ВС... а потом.. .эээ...

По-моему, Вы напутали с буквами. А то, что надо найти АС, АВ и ВС, это Вы верно догадались. Остался последний шаг: найти BF. Например, можно вспомнить, как вычисляется площадь прямоугольного треугольника разными способами.