пример из журнала "Потенциал".

[larkova_alina]

Читаю журнал Потенциал №1 2005 года. Одно крошечное место в одном примере не понятно.
Решите уравнение $\sqrt{\left|x^2+14x+47\right|+1}=\left|x+7\right|-1$.
Решение:
Здесь сначала удобно сделать замену переменных. Пусть $t=\left|x+7\right|$, тогда уравнение $\left|x+7\right|-1=\sqrt{\left|(x+7)^2-2\right|-1}$ примет вид $\sqrt{\left| t^2-2\right|-1}=t-1.$ Решим его.
$\sqrt{\left| t^2-2\right|-1}=t-1\;\; \Leftrightarrow$ $ \begin{cases} t\geqslant 0,\\ \left|t^2-2\right|-1=t^2-2t+1\\ \end{cases} \Leftrightarrow$
$\begin{cases} t\geqslant 0,\\ \mathbf{\left|t^2-2\right|=t^2-2t+2\equiv (t-1)^2+1>0.}\\ \end{cases} \Leftrightarrow$
$\begin{cases} t\geqslant 0,\\ \begin{bmatrix} t^2-2=t^2-2t+2,\\ t^2-2=-t^2+2t-2. \end{.}\\ \end{cases} \Leftrightarrow$
$\begin{cases} t\geqslant 0,\\ \begin{bmatrix} t=2,\\ t=0,\\ t=1. \end{.}\\ \end{cases} \Leftrightarrow $$\begin{bmatrix} t=2,\\ t=1. \end{.} \Rightarrow $$\begin{bmatrix} \left|x+7\right|=2,\\ \left|x+7\right|=1. \end{.} \Leftrightarrow$$ \begin{bmatrix} \begin{bmatrix} x=-5,\\ x=-9, \end{.}\\ \\ \begin{bmatrix} x=-6,\\ x=-8. \end{.} \end{.} $

Непонятный момент выделен жирным шрифтом. Вопрос: Зачем проверяется правая часть уравнения на неотрицательность? А если бы правая часть уравнения не всегда была больше нуля, как бы изменился дальнейший ход решения? Заранее, спасибо.

[Keter]

larkova_alina, я бы сказал $t \ge 1$.

[larkova_alina]

Keter в сообщении #614935 писал(а):

larkova_alina, я бы сказал $t \ge 1$.

Да, Вы правы. Но а что с вопросами-то?

[Someone]

Дык, уравнение $\lvert x\rvert=-1$ корней не имеет.

[Keter]

То, что жирным шрифтом выделено. Там имеется ввиду, что модуль всегда положительное число. То есть уравнение $|x|=-1$ решений не имеет. И когда мы решаем уравнение $|x|=x-12$, то мы учитываем, что при $x<12$ решений нет.

-- 05.09.2012, 00:00 --

Someone, Вы быстрее написали

[larkova_alina]

А если бы правая часть "жирного" уравнения была бы не всегда неотрицательно, а при некоторых $t$ становилась отрицательной? Чтобы тогда изменилось?

[Someone]

А пришлось бы, снимая модуль, наложить дополнительное условие, что правая часть неотрицательна.

[larkova_alina]

Someone в сообщении #614947 писал(а):

А пришлось бы, снимая модуль, наложить дополнительное условие, что правая часть неотрицательна.

Нас учили уравнения с модулем решать так:
$\left|f(x)\right|=g(x) \Leftrightarrow $$\begin{bmatrix}\begin{cases} f(x)\geqslant 0,\\ f(x)=g(x). \end{cases}\\ \;\;\,\begin{cases} f(x)< 0,\\ f(x)=-g(x). \end{cases} \end{.}$
И не про какие условия на правую часть нам ничего не говорили.

[Joker_vD]

Почему же? Вот же они, неявно указаны в этих скобках: $g(x)\geqslant0$.

[larkova_alina]

Joker_vD в сообщении #614998 писал(а):

Почему же? Вот же они, неявно указаны в этих скобках: $g(x)\geqslant0$.

Вроде поняла.
$\left|f(x)\right|=g(x) \Leftrightarrow $$\begin{bmatrix}\begin{cases} f(x)\geqslant 0,\\ f(x)=g(x). \end{cases}\\ \;\;\,\begin{cases} f(x)< 0,\\ f(x)=-g(x). \end{cases} \end{.} \Leftrightarrow$$\begin{bmatrix}\begin{cases} g(x)\geqslant 0,\\ f(x)=g(x). \end{cases}\\ \;\;\,\begin{cases} g(x)\geqslant 0,\\ f(x)=-g(x). \end{cases} \end{.}$
При решении можно пользоваться любой из этих систем. Так?

[Keter]

larkova_alina, лучше решайте с помощью первой.

[Nacuott]

Уравнение решено неверно.Оно корней не имеет (по крайней мере вещественных).

[Keter]

Nacuott, подставьте хотя бы $x=-5$ и убедитесь, что Вы не правы.

[Asker Tasker]

larkova_alina в сообщении #614916 писал(а):

Читаю журнал Потенциал №1 2005 года. Одно крошечное место в одном примере не понятно.
Решите уравнение $\sqrt{\left|x^2+14x+47\right|+1}=\left|x+7\right|-1$.

Keter в сообщении #615255 писал(а):

Nacuott, подставьте хотя бы $x=-5$ и убедитесь, что Вы не правы.

Может, я где-то в арифметике ошибся, но вышло так:
$ \sqrt{\left|\left( -5 \right)^2+14\left( -5 \right)+47\right|+1}=\left|-5+7\right|-1 $
$ \sqrt{\left| 25 - 70 +47\right|+1}=\left|2\right| -1 $
$ \sqrt{\left|72 - 70\right|+1}=2 - 1 $
$ \sqrt{\left|2\right|+1}=1 $
$ \sqrt{2+1}=1 $
$ \sqrt{3}=1 $

larkova_alina в сообщении #614916 писал(а):

Решение:
Здесь сначала удобно сделать замену переменных. Пусть $t=\left|x+7\right|$, тогда уравнение $\left|x+7\right|-1=\sqrt{\left|(x+7)^2-2\right|-1}$ примет вид $\sqrt{\left| t^2-2\right|-1}=t-1.$ Решим его.

Может, $\sqrt{\left| t^2-2\right|+1}=t-1$?

[larkova_alina]

Asker Tasker, у меня описка.
На самом деле исходное уравнение $\sqrt{\left|x^2+14x+47\right|-1}=\left|x+7\right|-1$.