Школьная задача

[vlad_light]

Помогите решить школьную задачку:
Есть камера объёма $V$ в которой находится смесь из газа и воздуха

$$V_g+V_k=Vg_0+V(1-g_0)$$

У камеры есть вход и выход. Каждую секунду в камеру поступает та же смесь объёма $S$, но другой концентрации

$$S_g+S_k=Sc+S(1-c)$$

В камере она мешается и выходит через выход. Нужно найти время, за которое концентрация газа в камере достигнет $g_1$.
Мои попытки:
Пусть $g(t)\in [0,1]$ - концентрация газа в камере в момент $t$. Тогда

$$S\Delta t+V=\Delta tSc+\Delta tS(1-c)+Vg(t)+V(1-g(t))=$$

$$=(\Delta tSc+Vg(t))+(\Delta tS(1-c)+V(1-g(t)))$$

Дальше составим пропорцию:

$$\frac{\Delta tSc+Vg(t)}{S\Delta t+V}=\frac{g(t+\Delta t)}{1}$$

Дальше перемножаем и переходим к пределу при $\Delta t\to 0$. Получаем задачу Коши

$$\dot g(t)+\frac{S}{V}g(t)=\frac{Sc}{V}$$

с начальным условием $g(0)=g_0$. Решаем диффур:

$$g(t)=c'e^{-\frac{S}{V}t}+c, g(0)=c'+c=g_0\Rightarrow c'=g_0-c$$

$$g(t)=(g_0-c)e^{-\frac{S}{V}t}+c$$

Далее подставляем $g_1$:

$$(g_0-c)e^{-\frac{S}{V}t}+c=g_1, t=-\frac{V}{S}\ln\frac{g_1-c}{g_0-c}$$

Проверьте, спасибо!