Полнота метрики при переходе к факторпрстрнтсву

[xmaister]

Пусть $X$- метризуемое полной инвариантной метрикой ТВП, $N\subset X$- замкнутое подпространство. Если $\{\pi (x_n)\}_{n\in\mathbb{N}}$- фундаментальна в $X/N$ с метрикой $\rho (\pi (x),\pi(y))=\inf\{d(x-y,z)|z\in N\}$, где $d:X\times X\to\mathbb{R}$- полная инвариантная метрика и $\pi (x_n)=x_n+N$, тогда для всякого $\varepsilon >0$ существует $z\in N$ , такое что $d(x_n,x_m+z)<\varepsilon$, тогда $\{x_n\}$- фундаментальна, значит метрика в $X/N$- полная. Правильно ли рссуждаю?

[xmaister]

Все что напсал выше- неверно. Тогда пока не ясно как доказать полноту метрики в факторпространисве.

[xmaister]

Пусть $X$- ТВП, $N$-замкнутое его подпространство. Верно ли, что если $\{\pi (x_n)\}_{n\in\mathbb{N}}\subset X/N$- последовательность Коши, то для каждого $\n\in\mathbb{N}$ существует $y_n\in\pi^{-1}(\pi (x_n))$, такое что $\{y_n\}_{n\in\mathbb{N}}$- последовательность Коши.