Разрезание вписанного четырёхугольника

[Nikolai Moskvitin]

Здравствуйте!

В этом году придумал задачу: Доказать, что существует вписанный четырёхугольник, который можно разрезать на три равнобедренных треугольника.: пусть $AB=BE$, $BC=CE$,BC параллельна AE, BE параллельна AD. Пусть $\angle {CBE}=\alpha$. Тогда $\angle {BCE}=180-2\alpha$ по теореме о сумме углов в треугольнике. $\angle {BAE}= \angle {BEA} =\angle {EAD}=\alpha$ по свойству равнобедренного треугольника и по свойству параллельности, следовательно $\angle {BAD} + \angle {BCE}=\pi$ , следовательно, четырёхугольник ABCD- вписанный. Доказал. Возник вопрос: а верно ли это для любого вписанного четырёхугольника? И сколько возможно таких разрезаний?
Нашёл точку на стороне CD E, получилось, что$ x=\frac{a}{2(1-\cos\alpha)} $и вышло довольно странно: так как $x<a$, $\cos \alpha<\frac{1}{2}$, значит, $\alpha>\frac{\pi}{3}$?! И единственный ли это способ разрезания? ($\alpha=\angle {BCD}$)

С уважением, Николай

[gris]

У Вас трудно по тексту разобрать, как разрезан четырёхугольник.
Мне вот что сразу на ум пришло (по поводу существования)


или так


по-моему, только два способа разрезания: когда общая точка трёх треугольников лежит на стороне или на диагонали четырёхугольника.
Существует ли четырёхугольник, который можно разбить двумя разными способами ( с точностью до поворотов). Ромб бы подошёл, но его трудно вписать.

[Someone]

Nikolai Moskvitin в сообщении #614110 писал(а):

Доказать, что существует вписанный четырёхугольник, который можно разрезать на три равнобедренных треугольника.

Квадрат.

[Nikolai Moskvitin]

gris в сообщении #614119 писал(а):

У Вас трудно по тексту разобрать, как разрезан четырёхугольник.

На стороне CD выбирается точка E так, что $BC=CE$, $AB=BE$,$ AE=ED$

gris в сообщении #614119 писал(а):

Мне вот что сразу на ум пришло (по поводу существования)

Здорово!

[Cash]

В первом случае gris
четырехугольник должен удовлетворять следующим соотношениям:
$AB=BC$, $\angle {ABC} = \angle {ADB}=\frac{\pi}{2}$
Он точно будет вписанным и 3 треугольника: $\triangle ABC, \triangle ADO, \triangle DOC$ будут равнобедренными.
Во втором случае - равнобочная трапеция.

[gris]

Равнобочная, но не всякая. Подойдет с одним основанием вдвое меньшим другого (высота произвольная).
С диагональю, перпендикулярной боковой стороне (меняется угол при основании).
С меньшим основанием, вдвое большим боковой стороны( меняется угол при основании. прямоугольник тоже сюда).
Три различных способа равнобедренности треугольников при боковых сторонах.
Ну и четырёхугольник с двумя противоположными прямыми углами и с равенством сторон хотя бы при одном из них.
Какие ещё семейства?

[Nikolai Moskvitin]

Предложенное мною разрезание- тоже частный случай, на общее не распространяется. Но поскольку указанную конструкцию посроить можно, значит, это контрпример.

[gris]

Вы поставили гораздо более интересную и сложную задачу: описать все вписанные четырёхугольники, которые можно разрезать на три равнобедренных треугольника.