Определение компактности

[Бабай]

Народ,

на стр. 129 книги Борисовича и других по топологии дано определение компактности и паракомпактности:

"Топологическое пространство Х называется:
А_1) компактным, А_2) паракомпактным, если во всякое его открытое покрытие можно вписать открытое покрытие, являющееся соответственно: а_1) конечным, а_2) локально конечным."

И тут же предлагается такое упражнение:

"Убедитесь, что получим эквивалентное определение А_1), если потребуем, чтобы из любого открытого покрытия пространства можно было выделить покрытие типа а_1), и получим неэквивалентное определение А_2), если потребуем, чтобы из любого открытого покрытия пространства можно было выделить покрытие типа а_2)."

Я сначала подумал, что это шутка, так как не заметил никакой разницы в формулировке. Но потом понял, что хотят указать на разницу между "вписать" и "выделить". Поэтому вопрос: В чём, собсно, разница между "вписать" и "выделить"? Я по крайней мере никакой разницы усмотреть не могу, да и в книге она нигде раньше явным образом не встречалась.

[Someone]

Бабай в сообщении #613624 писал(а):

В чём, собсно, разница между "вписать" и "выделить"?

Ну давайте рассмотрим полуинтервал $[0,1)$ и его покрытие открытыми множествами $U_n=[0,1-\frac 1{2^n})$, $n=1,2,3,\ldots$. Проверьте, что в это покрытие можно вписать локально конечное и нельзя выделить локально конечное.

[Бабай]

Ну думаю так:

Рассмотрим покрытие $\{V_{n,k}\}_k$ полуинтервала [0,1) множествами $V_{n,k}:=[0,1-\frac{1}{2^n}(1-\frac{1}{2^k}))$, причём натуральное n может быть выбрано произвольно. Оно оказывается вписанным в $\{U_n\}_n$. Также видно, что при фиксированном n $U_n \subset \overline{U}_n \subset V_{n,k}$, так что для данного n $\{V_{n,k}\}_k$ образует покрытие компакта $\overline{U}_n $, из которого можно выделить конечное подпокрытие $\{V_{n,k_1},…,V_{n,k_l}\}$. Это значит, что вписанное покрытие $\{V_{n,k}\}_k$ локально конечно.

В то же время выделить из $\{U_n\}_n$ локально конечную подсистему $\{U_{n_i}\}_{n_i}$ не удастся, так как полуинтервал не есть компакт и след-но не позволяет выделить конечное подпокрытие, так что например любая окрестность (в индуцированной топологии) нуля лежит в бесконечном числе элементов покрытия, точнее -- во всех, за исключением конечного их числа.

[Someone]

Бабай в сообщении #613823 писал(а):

Рассмотрим покрытие $\{V_{n,k}\}_k$ полуинтервала [0,1) множествами $V_{n,k}:=[0,1-\frac{1}{2^n}(1-\frac{1}{2^k}))$, причём натуральное n может быть выбрано произвольно.

Это покрытие не является локально конечным, потому что любая окрестность нуля пересекает все эти множества, а их бесконечное количество.

Бабай в сообщении #613823 писал(а):

В то же время выделить из $\{U_n\}_n$ локально конечную подсистему $\{U_{n_i}\}_{n_i}$ не удастся, так как полуинтервал не есть компакт и след-но не позволяет выделить конечное подпокрытие, так что например любая окрестность (в индуцированной топологии) нуля лежит в бесконечном числе элементов покрытия, точнее -- во всех, за исключением конечного их числа.

Что-то больно мудрёно. Сразу видно, что никакой конечный набор множеств $U_n$ не покрывает полуинтервал $[0,1)$.

[Бабай]

Someone в сообщении #613870 писал(а):

Бабай в сообщении #613823 писал(а):
Рассмотрим покрытие полуинтервала [0,1) множествами , причём натуральное n может быть выбрано произвольно.
Это покрытие не является локально конечным, потому что любая окрестность нуля пересекает все эти множества, а их бесконечное количество.

Блин, про нуль забыл! Да, Вы правы. Но для других точек полуинтервала кажется прокатывает. А какое же тогда лучше вписать?

[Someone]

Ну, возьмём $V_1=[0,\frac 23)$ и $V_k=(1-\frac 1{2^{k-1}},1-\frac 1{2^{k+1}})$, $k=2,3,4,\ldots$. Тогда $V_k\subseteq U_{k+1}$ при $k=1,2,3,4,\ldots$. Доказательство того, что это покрытие, и что оно локально конечное, оставляю Вам.