СВ определенные на одном и том же вероятностном пространстве

[stat]

Собственно хочется разобраться, что это значит.

Например, СВ $X$ определена на вероятностном пространстве $([0,1],B(0,1),\text{мера Лебега})$ , а СВ $Y$ определена на вероятностном пространстве $(R,B(R),N(0,1))$, где $N$ это функция распределения стандартного нормального закона.

То есть как определить, что случайные величины определены на одном и том же вероятностном пространстве или они все таки определены на разных вероятностных пространствах.

[--mS--]

На разных, разумеется.

[stat]

А Вы могли бы объяснить по какому правилу это можно определить ?

И если вот эти наши СВ определены на разных вероятностных пространствах то получается, что нет смысла считать ковариацию между ними и т.п. ?

[Cash]

Ковариацию, действительно, смысла нет, а корреляцию считают и довольно часто.

-- Чт авг 30, 2012 13:56:32 --

У вас X лежит в интервале $(0, 1)$ , а Y на всей оси.

[--mS--]

Невозможно считать и ковариацию, и коэффициент корреляции, безразлично. Как определить, что на разных? Да очень просто: берем и сравниваем пространства - уже пространства элементарных исходов $\Omega$ у них разные: $[0,\,1]$ и $\mathbb R$, дальше ходить нет смысла. Функция $X$ у Вас задана на ином множестве, чем $Y$ - их даже перемножить нельзя: произведение $X(\omega)\cdot Y(\omega)$ не определено.

А давайте, Вы спросите именно то, что хотели спросить, без дальних подходов?

[Cash]

Цитата:

Невозможно считать и ковариацию, и коэффициент корреляции, безразлично

Мы не можем посчитать коэффициент корреляции между числом пожарников и количеством пожаров?

[stat]

Во-первых, мне действительно важно понять какой смысл вкладывают в фразу "Пусть X,Y — две случайные величины, определённые на одном и том же вероятностном пространстве."

Во-вторых, хочу понять насколько корректно например считать ту же ковариацию, корреляцию для случайных величин распределения которых априори не известны. То есть я не знаю на каких вероятностных пространствах определены СВ, но при этом вот хочу посчитать ковариацию.

И вот Вы говорите, что я не могу умножить равномерно распределенную СВ на СВ имеющую нормальное распределение, а ведь я же это делаю. Беру выборки из этих распределений и умножаю.

То есть вот такое какое то у меня недопонимание

[--mS--]

Cash в сообщении #612530 писал(а):

Мы не можем посчитать коэффициент корреляции между числом пожарников и количеством пожаров?

Если Вы зададите эти величины на одном вероятностном пространстве - считайте на здоровье.

[_hum_]

Cash в сообщении #612530 писал(а):

Цитата:

Невозможно считать и ковариацию, и коэффициент корреляции, безразлично

Мы не можем посчитать коэффициент корреляции между числом пожарников и количеством пожаров?

Формально для того, чтобы это сделать, вы должны будете построить мат. модель, в которой эти явления связаны - а значит, с необходимостью, построить одно вероятностное пространство.

stat, чтоб вы не путались, важно отличать содержательное понятие случайной величины (как чего-то числового, принимающего в разных экспериментах разное значение) и понятие математической модели этой случайной величины - обычной (измеримой) функции, заданной на некотором множестве $\Omega$ (так называемом пространстве исходов).

Пример. Эксперимент по подбрасыванию двух кубиков. Случайная величина - общее количество очков. Это содержательное описание. А теперь какую мат. модель можно подобрать для описания. А, например, такую. Исход можно закодировать упорядоченной парой чисел. Тогда пространством исходов будет $\Omega = \{\omega\}_{\omega} = \{(1,1), (1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),\dots, (6,6)\}$. Алгебру событий $\mathcal{A}$ для дискретного случая с конечным пространством исходов выбирают стандартно - как множество всех возможный подмножеств. Теперь надо задать вероятность событий из алгебры событий. Тоже стандартно и для данного случая будет:
$\mathbf{P}(A) = \sum_{\omega \in A}\frac{1}{36}$.
Остается описать случайную величину. Очевидно, она будет описываться функцией
$\xi(\omega) = (\omega)_1 + (\omega)_2$.
Все. Вероятностное пространство $(\Omega, \mathcal{A}, \mathbf{P}) $ построено. Случайная величина $\xi = \xi(\omega)$ тоже задана. Дальше дело за математикой (можете искать матожидания, дисперсии и проч. ).

[--mS--]

stat в сообщении #612535 писал(а):

Во-первых, мне действительно важно понять какой смысл вкладывают в фразу "Пусть X,Y — две случайные величины, определённые на одном и том же вероятностном пространстве."

Очень простой смысл: две функции одного и того же аргумента (которые поэтому можно складывать, умножать и т.п.), измеримые относительно одной и той же сигма-алгебры и вероятности которым что-то делать меряются одной и той же мерой.

stat в сообщении #612535 писал(а):

Во-вторых, хочу понять насколько корректно например считать ту же ковариацию, корреляцию для случайных величин распределения которых априори не известны. То есть я не знаю на каких вероятностных пространствах определены СВ, но при этом вот хочу посчитать ковариацию.

Вариантов два: либо эти величины заданы на одном вероятностном пространстве, либо нет. Как минимум, чтобы посчитать ковариацию, нужно иметь дело с произведением двух функций. Одного и того же аргумента.

stat в сообщении #612535 писал(а):

И вот Вы говорите, что я не могу умножить равномерно распределенную СВ на СВ имеющую нормальное распределение, а ведь я же это делаю. Беру выборки из этих распределений и умножаю.

Распределения тут ни при чём абсолютно. Равномерная и нормальная величины вполне могут быть заданы на одном и том же вероятностном пространстве - например, на том же $\langle [0,\,1], \mathfrak B([0,\,1]), \lambda(\cdot)\rangle$ - скажем, $X(\omega)=\omega$, $Y(\omega)=\Phi^{-1}(\omega)$, где $\Phi(x)$ - функция распределения стандартного нормального закона. И умножайте.

А вот выборки тут вообще ни при чём.

[stat]

Cash, _hum_ , --mS-- спасибо большое за разъяснения !

Особенно понравился, вот этот ход $Y(\omega)=\Phi^{-1}(\omega)$

Таким образом можем в одно вероятностное пространство поместить любые случайные величины с любым распределением :)

То есть когда говорят "на одном вероятностном пространстве" это больше дань строгости. В прикладном смысле случайные величины априори предполагаются заданными на одном и том же вероятностном пространстве.

[--mS--]

Разумеется.