Плотность совместного распределения

[Measure]

Задача:
Неотрицательные случайные величины независимы $\xi_1$ и $\xi_2$ имеют одну и ту же плотность распределения $p(x)$. Найти плотность совместного распределения $q(u, v) $ случайных величин $\eta_1 = \xi_1 - \xi_2 $ и $\eta_2 = \sqrt{\xi_1^2 + \xi_2^2} \le v^2$
Попытка решения:
зная функцию распределения, сможем найти плотность:
$Q (u, v) = Q ( \xi_1 - \xi_2 < u, \sqrt{\xi_1^2 + \xi_2^2} < v) $, а вот дальше непонятно, что делать. $ \xi_1 - \xi_2 < u$ - это часть плоскости выше прямой, $\sqrt{\xi_1^2 + \xi_2^2} < v$ - это полукруг. Нужно по их пересечению интегрировать $p(x)$? Если да, то как? Если нет, то как еще это решить?

[--mS--]

А что это за $Q(\cdot, \cdot)$ от двух событий? Вероятность, наверное? Интегрировать по пересечению областей нужно совместную плотность $(\xi_1,\xi_2)$ - Вы же ищете вероятность этой паре попасть в указанную область. Совместную плотность пары независимых величин выписать можете?

[Measure]

Q - это функция распределения. Насколько я понимаю, нужно как-то выразить ф.р. через известную плотность и уже потом найти совместную.

Совместная плотность независимых величин - произведение плотностей. Но как это мне поможет? Откуда возьмется независимость?

[--mS--]

Слева $Q(u,v)$ - это функция распределения, я понимаю. А следующая - это кто?

Независимость - из условия, нет?

[Measure]

Точно! Спасибо!
Но я все равно не понимаю, как выписать интеграл :(


$ Q(u, v) = \int_{x-y < u }^{\sqrt{x^2 + y^2} < v} p(x)p(y) dx dy, a \le u \le v $ - так что ли?

[--mS--]

Вы по $x$ и $y$ интегрируете, что за одномерный интеграл-то? Область интегрирования задаётся системой неравенств относительно переменных интегрирования. Да ещё и условие есть про неотрицательность случайных величин, тоже учесть следует.