Задача по механике о капле

[Турбовеник]

Задачай:
В густом тумане из мелких капелек воды зарождается суперкапля шаровой формы, которая захватывает по пути мелкиекапельки. Она начинает движение с нулевой массой и без начально скорости. Известно, что суперкапля движентся с постоянным ускорением. Считая все соударения абсолютно неупругими, определить ускорение капли.Ускорение свободного паджения считать заданным и постоянным в течение всего времени падения.

(непонятно, как её решать - все параметры каплит меняются со временем)

Задача2:
Пакет молока поставили на горизонтальный стол и отклонили на некоторый угол от вертикали. Пакет заваливается на стенку, если его угол отклонения от вертикали превышает 30 градусов. Определите уровень молока в ненаклоненном пакете.

(свел задачу к нахождения центра тяжести произвольного ечтырехугольника,но чентр тяжести найти не смог - поэтому стоит вопрос - как этот чентр найти или как по другому решить заачу)

Задачи школьного уровня и должны решаться методами элементарной математики.

[Андрей123]

Если не учитывать сопротивление воздуха, то ДУ движения принимает вид
$\frac{d(mv)}{dt}=mg$. Обозначим постоянное ускорение капли через a. Тогда уравнение периписывается в виде
$\frac{dm}{dt}=\frac{m}{t}(g-a)/a$, откуда получается
$ln(m)}=c*ln(t^{(g-a)/a})$, по-моему, начальные условия не совсем корректны и не хватает дополнительного условия, например,$m(t_1)=m_1$. Быть может, ошибаюсь.

[photon]

Андрей123,

Турбовеник писал(а):

Задачи школьного уровня и должны решаться методами элементарной математики.

[Андрей123]

photon что Вы скажете по поводу условия, прав я или нет?

[Шимпанзе]

Ответ: ускорение равно –g . (С каких это пор ускорение свободного падения зависит от массы ?!).


Шимпанзе

[photon]

Шимпанзе писал(а):

Ответ: ускорение равно –g . (С каких это пор ускорение свободного падения зависит от массы ?!).

ускорение по условию постоянно, но совсем не обязательно равно $g$, из-за постоянных неупругих соударений с покоящимися капельками тумана

[Шимпанзе]

photon писал(а):

Шимпанзе писал(а):

Ответ: ускорение равно –g . (С каких это пор ускорение свободного падения зависит от массы ?!).

ускорение по условию постоянно, но совсем не обязательно равно $g$, из-за постоянных неупругих соударений с покоящимися капельками тумана

Задача то школьная....


Шимпанзе

[Антипка]

Друзья, вы меня удивляете. Такую простенькую школьную задачку до сих пор никто не решил?

Андрей123 был совершенно прав в том, что для окончательного ответа нужны дополнительные условия, но не увидел, что эти условия в задаче есть. Наводящий вопрос: Почему в условии сказано, что капля имеет шарообразную форму?

Надеюсь, все догадались, куда я клоню? Правильно, дополнительные условия необходимо взять из физической сущности задачи. Очевидно, что скорость приращения массы капли пропорциональна скорости падения капли и ее поперечному сечению, которое, очевидно, пропорционально $m^{2/3}$. Иными словами,

$\frac{{dm}}{{dt}} = kvm^{2/3}$

Отсюда, безо всякой необходимости решать дифференциальное уравнение, которые, как известно, в школе не изучают на необходимом уровне, получаем правильный ответ:

$a = \frac{g}{7}$

Добавлено спустя 34 минуты 23 секунды:

Re: Задача по механике о капле

Теперь подскажу по второй задаче:

Турбовеник писал(а):

Задача2:
Пакет молока поставили на горизонтальный стол и отклонили на некоторый угол от вертикали. Пакет заваливается на стенку, если его угол отклонения от вертикали превышает 30 градусов. Определите уровень молока в ненаклоненном пакете.

(свел задачу к нахождения центра тяжести произвольного ечтырехугольника,но чентр тяжести найти не смог - поэтому стоит вопрос - как этот чентр найти или как по другому решить заачу)

Задачи школьного уровня и должны решаться методами элементарной математики.

Так, как ты пытался сделать, здесь делать не надо. Пакет, очевидно - прямоугольный параллелепипед и отклонятся от вертикали так, что одно из нижних ребер продолжает соприкасаться с опорой (это обязательно надо упомянуть, ведь возможно поставить пакет и на угол - тогда выйдет намного сложнее). Далее отметим, что можно перейти к плоскому (2-мерному) случаю, "схлопнув" измерение, ребра которого остаются параллельными плоскости опоры - ту это сделал и так, как я понял. А дальше все очень просто. Пусть высота молока в неотклоненном пакете равна h, а ширина пакета равна l. Тогда в наклоненном пакете рассмотри поотдельности "прямоугольник" и "треугольник" из молока. Первый, очевидно, имеет основание l и высоту $h-\frac{{l\cdot tg\alpha }}{2}$, второй является прямоугольным с основанием l и высотой $l\cdot tg\alpha$ (катеты треугольника). Найди ЦТ и площадь каждой фигуры, отсюда найди момент силы тяжести для каждой из "фигур" относительно точки опоры и получи уравнение относительно h.

Согласен, что решение с необходимостью будет достаточно геморройным, но идеологически (концептуально) - простым до невозможности.

[Андрей123]

Задача о капле. Да, если использовать это условие, то действительно получается $a=g/7$(правда, я не понял как обойтись без решения уравнения, но это я ещё попробую сделать). У меня вопрос по поводу начальной массы, по-моему она не может быть нулевой.

[Антипка]

Андрей123 писал(а):

Задача о капле. Да, если использовать это условие, то действительно получается $a=g/7$(правда, я не понял как обойтись без решения уравнения, но это я ещё попробую сделать). У меня вопрос по поводу начальной массы, по-моему она не может быть нулевой.

Приравниваешь два выражения для $dm/dt$ - из основного уравнения (твоё) и из дополнительного условия роста капли (моё), отсюда без всякого интегрирования получаешь явный вид m(t). Подставляешь его в любое из дифференциальных уравнений (т.е. явным образом дифференцируешь), откуда получаешь уравнение для a. Таким образом, дифференциальное уравнение для m, очевидно, используется, но не решается.

Кстати, там, выше, ты привел неправильное выражение для m(t), но я подумал, что это просто описка. В этом выражении не должно быть логарифмов, и ${\rm{m(t)}}\sim{\rm{t}}^\alpha$. Отсюда естественным образом получается, что m(0)=0, так что никакого противоречия нет.

[Андрей123]

Да, конечно же там описка, я её сам только сегодня заметил, но не стал писать. Противоречивость условия мне кажется из-за того, что из начального условия мы не можем одназначно определить постоянную С.

[Антипка]

Тут до сих пор мне приходят сообщения с просьбой разъяснить задачу в деталях. Действительно, то что мы с Андреем123 написали в этой теме - лишь изложение идей решения. Поэтому привожу детальное решение, сила тяжести, скорость и ускорение капли заданы в проекциях на ось, направленную вертикально вниз:

Это классическая задача на движение тела с переменной массой. Падая, капля увлекает мельчайшие капельки тумана, вследствие чего ее масса растет и второй закон Ньютона в его "школьной форме" (F=ma) оказывается неверным, т.к. предполагает неизменность массы тела, чего нет в нашем случае. Но этот закон остается верным в форме уравнения относительно импульса:
$\frac{{dp}}{{dt}}=mg$
Но p=ma, причем оба сомножителя зависят от времени, поэтому применяем формулу для производной от произведения функций, в результате получаем:
$\frac{{dp}}{{dt}} = \frac{{d(mv)}}{{dt}} = \frac{{dm}}{{dt}}v + m\frac{{dv}}{{dt}}$
Но по условию задачи ускорение a капли a постоянно и скорость линейно зависит от времени: v=at, подставляем это в наше выражение и получаем следующее дифференциальное уравнение относительно массы капли:
$mg = at\frac{{dm}}{{dt}} + ma$,
откуда получаем:
$\frac{{dm}}{{dt}} = \frac{m}{t}\frac{{g - a}}{a}$

С другой стороны, предполагая "густоту тумана", т.е. плотность содержания воды в пространстве постоянной, получаем, что скорость роста капли пропорциональна ее поперечному сечению и скорости ее падения - капля просто захватывает в себя все капельки тумана, которые попадаются ей по пути:
$\frac{{dm}}{{dt}} = k'vS$
Но площадь сечения пропорциональна квадрату радиуса капли, ее объем - кубу радиуса капли и, одновременно, массе капли, так как плотность воды - величина в данной задаче постоянная. Следовательно, площадь сечения капли пропорциональна массе капли в степени 2/3 c неким к-том пропорциональности. Отсюда получаем:
$\frac{{dm}}{{dt}}=kvm^{2/3}=katm^{2/3}$

Приравнивая оба выражения для dm/dt, получаем следующее уравнение относительно m:
$\frac{m}{t}\frac{{g - a}}{a} = katm^{2/3}$
Решаем его и получаем:
$m(t) = \frac{{k^3 a^6 t^6 }}{{(g - a)^3 }}$
Подставляем это выражение в первое дифференциальное уравнение относительно m(t), в результате чего поучаем:
$\frac{{dm}}{{dt}} = \frac{{6k^3 a^6 t^5 }}{{(g - a)^3 }} = \frac{{k^3 a^6 t^6 }}{{(g - a)^3 }}\frac{{g - a}}{{at}}$
Там практически все сокращается, остается 6=(g-a)/a, откуда немедленно следует, что
a=g/7

Задача решена. Это действительно нестандартная задача повышенной сложности, такие любят давать в физматклассах.

[Антипка]

Т.к. первая задача и ее решение вызвали определенный отклик, и мне уже пришло несколько личных сообщений, предлагаю следующее ее продолжение:

1. Решить задачу в отсутствие заданного условия a=const, то есть доказать, что это условие выводится из начальных условий m(0)=0, v(0)=0. (Оно было задано исключительно для того, чтобы сделать задачу доступной школьникам, ибо школьники не умеют решать ОДУ и тем паче, системы ОДУ; очевидно. что решение будет тем же).

2. Решить задачу для произвольных начальных условий на каплю, т.е. произвольных m(0), v(0) - это неплохая тренировочка по теме ОДУ.

[Андрей123]

Обозначим $u=m^{1/3}$. Получаем следующее

$$\dot{u}=\sqrt{\frac{2 g k}{21}u+\frac{c_0}{u^6}$$

,

$$v=\frac{3}{k}\dot{u}$$

, где
$c_0=u_0^6 v_0^2 \frac{k^2}{9}-\frac{2 g k}{21} u_0^7$
Для произвольных $m_0$, $u_0$ в элементарных функциях не интегрируется. Если $m_0=0$, то для существования решения должно быть и $v_0=0$. Тогда получаем

$$u=\frac{g k}{42}t^2,v=\frac{g}{7}t$$

. Таким образом, ускорение капли действительно постоянно и равно $\frac{g}{7}$. Для определения постоянной k необходимо дополнительное условие.