Постоянный член в асимптотике суммы

[Sonic86]

Вот такая сумма $S_n=\sum\limits_{k=2}^n\sum\limits_{a=1}^{s_k}\frac{H_{n/k^a}}{k^a}$ от $n$, где $H_x=\sum\limits_{j\leqslant x}\frac{1}{j}$ - гармоническое число, $s_k=\left[\frac{\ln n}{\ln k}\right]$. Хочу найти асимптотику для $S_n$ с точностью до $o(1)$. Для $H_x$ мы знаем асимптотику $H_x=\ln x+\gamma -\frac{1}{2x}+O(x^{-2})$ (например). Это разложение позволяет найти асимптотику $S_n$ с точностью до $O(1)$, а константу мне выцепить не удается. И дело даже не в том, что это именно константа - просто начиная с константы полученный обертывающий ряд для суммы начинает расходится. Менял порядок суммирования - та же фигня.
И что делать? Можно константу как-то найти хорошим способом?

Возможно, что вопром простой - точно не знаю.