Вычислить стохастический интеграл

[mushti]

Добрый день!

Помогите, пожалуйста, с вычислением стохастического интеграла

$$\int_0^t e^\tau\sin X(\tau)dX(\tau),$$

где $X(\tau)$ - винеровский процесс.

Возникли вопросы: если обозначить этот интеграл через $G(t,X(t))$ и если $G(t,X(t))$ является процессом Ито, то для записи его стохастического дифференциала

$$ dG(t,X(t))=\left[\frac{\partial G}{\partial t}+\frac 12\frac{\partial^2 G}{\partial^2 x^2}\right]dt+\frac{\partial G}{\partial x}dX(t) $$

достаточно знать $\frac{\partial G}{\partial t}, \frac{\partial G}{\partial x}, \frac{\partial^2 G}{\partial x^2}$.
После вычислений получил, что $\frac{\partial G}{\partial x}=e^\tau\sin X(\tau)$. Как найти еще $\frac{\partial G}{\partial t}, \frac{\partial^2 G}{\partial x^2}$?
И вообще, такой ход мыслей является правильным или нет?

[Henrylee]

Нет, конечно. Разве у Вас есть функция $G(t,x)$ в явном виде?
А что касается стох. дифференциала от

$$ Y_t=\int\limits_0^te^\tau\sin X_\tau\,dX_\tau, $$

то это просто

$$ dY_t=e^t\sin X_t\,dX_t. $$

Попробуйте формулу Ито с функцией $G(t,x)=e^t\cos x$.

[Henrylee]

Получилось или еще подсказки нужны?