Логарифм от двух переменных

[Keter]

Найти все решения уравнения $\log_2 (9x+5-9p)+\log_3 (16p-5-16x)=0.$

$\log_2 3 \cdot \log_2 (9x+5-9p)+\log_2 (16p-5-16x)=0$

Как его решать?

[AV_77]

$9x - 9p = 9(x-p)$ и $16p - 16x = -16(x-p)$ и все сводится к одной переменной.

[Keter]

В этой задаче оказывается есть условие. Нужно найти все значения параметра $p$ при котором сумма квадратов корней уравнения будет максимальной. Но думаю можно сделать замену $x-p=y$ и решить уравнение относительно $y$, а потом уже разбираться с параметром. Возникли проблемы с решением. Не могу придумать способа. К какому основанию лучше перейти? Может есть общепринятый метод?

$$\log_2 (9y+5)+\log_3 (-16y-5)=0$$

Можно так записать:

$$\log_2 (9y+5) = \log_3 \Big( \dfrac{-1}{16y+5} \Big)$$

[nnosipov]

Keter в сообщении #606768 писал(а):

Возникли проблемы с решением. Не могу придумать способа.

Угадайте пару корней, а потом докажите, что других нет.

[Keter]

Перейду к основанию 10 и попробую угадать

$$\lg 2 \lg (-16y-5) + \lg 3 \lg (9y+5) = 0$$

Можно угадать две системы:

$$\begin{cases} \lg (-16y-5)=- \lg 3, \\ \lg (3y+5) = \lg 2; \end{cases} \Rightarrow \quad y=\dfrac{-1}{3} \quad \text{или} \quad \begin{cases} \lg (-16y-5)=\lg 3, \\ \lg (3y+5) =- \lg 2; \end{cases} \Rightarrow \quad y=\dfrac{-1}{2}$$

А как показать, что других корней нет?

-- 16.08.2012, 20:38 --

Наверное потому что область определения $D(y)=\Big( \dfrac{-5}{9}; \dfrac{-5}{16} \Big)$. А так как это логарифм, то на такой области определения больше двух корней не может быть.

Ну а дальше легко вроде. $x=p-\dfrac{1}{3}; \quad x=p-\dfrac{1}{2}$.

$$f(p)=\Big( p-\dfrac{1}{3} \Big)^2 + \Big( p-\dfrac{1}{2} \Big)^2$$

$$f(p)=2p^2-\dfrac{5}{3}p+\dfrac{13}{36}$$

$$f'(p)=4p-\dfrac{5}{3}=0; \quad p=\dfrac{5}{12}$$

То есть при $p=\dfrac{5}{12}$ сумма квадратов корней данного уравнения будет наибольшей.

[Keter]

По ходу я лажанулся с производной, у параболы то ветви не вниз, а вверх направлены...

[nnosipov]

Keter в сообщении #606795 писал(а):

Можно угадать две системы:

Каждая из этих систем не имеет решений, но искомые игреки Вы тем не менее угадали правильно. Вообще, когда Вы что-то угадываете, не обязательно объяснять, как именно Вы это делаете. Ну, вот угадали, и всё на этом. Главное --- правильно угадать.

Keter в сообщении #606795 писал(а):

Наверное потому что область определения $D(y)=\Big( \dfrac{-5}{9}; \dfrac{-5}{16} \Big)$. А так как это логарифм, то на такой области определения больше двух корней не может быть.

А почему не может быть? Это обязательно доказать нужно.

-- Пт авг 17, 2012 09:51:38 --

Keter в сообщении #606795 писал(а):

То есть при $p=\dfrac{5}{12}$ сумма квадратов корней данного уравнения будет наибольшей.

Скорее всего, в задаче требовалось найти все $p$, для которых эта сумма будет наименьшей.

[Keter]

nnosipov, в этом то и беда, то что я написал - ошибка, я не заметил, что у параболы ветви вверх направлены, тогда при $p=\dfrac{5}{12}$ сумма будет наименьшей (возможно в условии ошибка, иначе $p \rightarrow \infty$).

nnosipov в сообщении #606894 писал(а):

А почему не может быть? Это обязательно доказать нужно.

Как это можно доказать?

-- 17.08.2012, 11:25 --

Еще интересно, если построить график данного уравнения на компьютере (зависимость $p(x)$), мы увидим две прямые. И как Вы думаете какие? Именно эти: $p=x+\dfrac{1}{2}$ и $p=x+\dfrac{1}{3}$

[nnosipov]

Keter в сообщении #606948 писал(а):

Как это можно доказать?

Нарисуйте график этой суммы логарифмов. Используйте производную для определения участков монотонности. Легко понять безо всяких даже графиков, что корней не может быть более двух. А поскольку два уже есть, то всё и сделано.

[Keter]

nnosipov, так производная у данного уравнения единице будет равняться. А ну да мне же нужна производная, когда я перешел к $y$, тогда понятно. Спасибо.

[nnosipov]

Keter в сообщении #606953 писал(а):

так производная еденице будет равняться.

Единица

[Keter]

nnosipov в сообщении #606954 писал(а):

Единица

Исправил как так

[AKM]

Keter в сообщении #606768 писал(а):

В этой задаче оказывается есть условие.

Наличие у задачи условия --- довольно частая ситуация. Не следует пренебрегать такой возможностью.