Ещё одна задача, связанная с симметрией относительно точки

[BENEDIKT]

Необходимо доказать, что четырёхугольник, у которого есть центр симметрии, является параллелограммом.

1 попытка. Доказательство показалось мне совершенно невразумительным.
Поскольку у четырёхугольника есть центр симметрии, преобразование симметрии относительно этого центра переводит его в себя самого. Тогда вершины четырёхугольника переходят в противолежащие вершины. Следовательно, противолежащие вершины симметричны друг другу относительно центра симметрии четырёхугольника. Т. о. центр симметрии делит диагонали четырёхугольника пополам. (Здесь возникает вопрос: можно ли утверждать, что диагонали любого четырёхугольника обязательно пересекаются?). Поскольку диагонали четырёхугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, этот четырёхугольник - параллелограмм.

2 попытка.
Согласно теореме, преобразование симметрии относительно точки есть движение. Также известно, что движение переводит отрезки в отрезки.
Любая произвольная точка на одной из сторон четырёхугольника имеет симметричную относительно центра симметрии точку на противоположной стороне. Тогда все точки любой стороны четырёхугольника, имеющего центр симметрии, имеют симметричные относительно этого центра точки на противолежащей стороне. Означает ли это, что преобразование симметрии всех точек относительно центра симметрии есть движение и, следовательно, сторона четырёхугольника переходит в параллельную ей сторону? В этом случае вершины, являющиеся концами отрезка-стороны четырёхугольника переходят в симметричные им вершины на противолежащей стороны, что означает симметричность противолежащих вершин относительно центра симметрии и, следовательно, деление диагоналей четырёхугольника пополам центром симметрии. Если это так, то, опять-таки, четырёхугольник, диагонали которого делятся пополам точкой пересечения, есть параллелограмм.
В данном случае возникает всё тот же вопрос: можно "по умолчанию" ли считать, что диагонали четырёхугольника в любом случае пересекаются?

[Cash]

Цитата:

Здесь возникает вопрос: можно ли утверждать, что диагонали любого четырёхугольника обязательно пересекаются?

Тогда и только тогда, когда четырехугольник выпуклый. Центрально-симметричный четырехугольник - выпуклый. Но кажется, что доказательство этого посложнее (уж точно не легче) вашей задачи.

Цитата:

Означает ли это, что преобразование симметрии всех точек относительно центра симметрии есть движение и, следовательно, сторона четырёхугольника переходит в параллельную ей сторону?

Образ прямой при центральной симметрии - либо она сама (если проходит через центр симметрии), либо параллельная ей прямая. По-моему, этим доказательство вашей задачи исчерпывается.

[BENEDIKT]

А как всё-таки доказать симметричность вершин четырёхугольника относительно центра симметрии? Можно ли отталкиваться от того, что центрально-симметричная фигура переводится преобразованием симметрии в себя же и, следовательно, вершины переходят в противолежащие вершины?

[Shtorm]

BENEDIKT в сообщении #606475 писал(а):

... Можно ли отталкиваться от того, что центрально-симметричная фигура переводится преобразованием симметрии в себя же и, следовательно, вершины переходят в противолежащие вершины?

Можно.

[Cash]

Вам совершенно нет нужды следить за вершинами (хоть это и не сложно). Достаточно того, что противоположные стороны параллельны.

[INGELRII]

У любого выпуклого четырехугольника вообще пересекаются его диагонали. Собственно, это следствие выпуклости.

Для вашего случая, если все еще сомневаетесь, попробуйте рассмотреть случай, когда диагонали не пересекаются. Сразу увидите, что тогда обязаны пересекаться стороны. В условии, правда, не сказано, что четырехугольник не имеет самопересечеинй... думаю, это подразумевается...

[BENEDIKT]

Благодарю всех за помощь.