Хорды графика функции

[Genrih]

Дана непрерывная функция $f:[0,1]\to \mathbb{R}$, $f(0)=f(1)$.
Доказать, что для любого натурального $n$ существует хорда графика функции $f(x)$, параллельная $Ox$, длиной $\frac{1}{n}$

Хордой назовем отрезок, соединяющий две точки графика функции.

[Руст]

Почему, только интервалы 1/n. Вроде это верно для любой длины 0<a<=1/2.

[Genrih]

Руст писал(а):

Почему, только интервалы 1/n. Вроде это верно для любой длины 0<a<=1/2.

Не совсем. Есть контрапримеры.

[RIP]

Если предположить, что непрерывная функция $g(x)=f(x+\frac1n)-f(x)$ не обращается в $0$ на отрезке $[0;1-\frac1n]$, то, если, например, $g(x)>0$, имели бы $f(0)<f(\frac1n)<f(\frac2n)<\ldots<f(\frac{n-1}n)<f(1)$. Противоречие.

Добавлено спустя 16 минут 15 секунд:

Вот контрпример для $a=0.4$:

$$f(x)=\begin{cases}-x,&x\in[0;0.2];\\1.5x-0.5,&x\in[0.2;0.4];\\0.5-x,&x\in[0.4;0.6];\\1.5x-1,&x\in[0.6;0.8];\\1-x,&x\in[0.8;1].\end{cases}$$

Добавлено спустя 15 минут 57 секунд:

Такой же контрпример для произвольного $a\in(\frac1{n+1};\frac1n)$. Положим $f(ka)=k,\ k=0,1,\ldots,n,\ f(1-ka)=-k,\ k=0,1,\ldots,n$. На получившихся отрезках доопределим функцию линейно.

[Genrih]

Да, оно.
На все поле действительных не перенести. Если $\epsilon$ такое, что для всех функций из условия существуют точки $x,y$ такие, что $|x-y|=\epsilon, f(x)=f(y)$, число $\frac{1}{\epsilon}$ будет натуральным.

[Руст]

Genrih писал(а):

Да, оно.
На все поле действительных не перенести. Для $\epsilon$, такого что $|x-y|=\epsilon, f(x)=f(y)$, число $\frac{1}{\epsilon}$ будет натуральным.

Последнее неправильно. Точнее, как показал RIP, если $\frac{1}{\epsilon }$ не натурально, то существует контрпример.

[Genrih]

Руст писал(а):

Последнее неправильно. Точнее, как показал RIP, если $\frac{1}{\epsilon }$ не натурально, то существует контрпример.

Последняя коррекция RIP и последнее сообщение мое идентичны

т.е. утверждаем одно и то же.

[RIP]

Genrih
Руст имел в виду, что в Вашем посте не хватает неких кванторов. А то, что это то же самое, это понятно.

[Genrih]

Да. " епсилон для всех таких функций" упустил.
Поправил.

[Gottessa]

Genrih
Мне хотелось бы с Вами связаться. Может быть у вас еще осталось решение этой задачи.
e-mail [e-mail]

[Edward_Tur]

http://kvant.mirror1.mccme.ru/1977/04/o ... krivyh.htm

[mpot]

Пожалуйста, подскажите, какой в этом "высший" смысл?
С чего вдруг непрерывная функция с равными значениями на концах отрезка обязана иметь хорды длины 1/n и вполне может не иметь хорд другой длины?
В голове это не укладывается.

[Maslov]

mpot в сообщении #558687 писал(а):

Пожалуйста, подскажите, какой в этом "высший" смысл?

Выше Edward_Tur привел ссылку на статью в "Кванте"; почитайте, там все написано.

[TOTAL]

mpot в сообщении #558687 писал(а):

С чего вдруг непрерывная функция с равными значениями на концах отрезка обязана иметь хорды длины 1/n и вполне может не иметь хорд другой длины?

1) Среди хорд с горизонтальной проекцией 1/n всегда найдутся две с наклоном разного знака, а где-то между этими хордами есть горизонтальная хорда (т.к. наклон непрерывно зависит от положения хорды)

2) $ \displaystyle f(x)=\sin^2\left(\pi x/a \right) -x\sin^2\left(\pi /a \right)$
Для этой функции существует горизонтальная хорда длины $a,$ только если $\sin^2\left(\pi /a \right)=0$