Уравнение с радикалами в целых числах

[Keter]

Решить уравнение $\sqrt{xy}-\sqrt{x}=\sqrt{39-6\sqrt{y}}$ для всех $x, y \in \mathbb{Z}.$

$$-\sqrt{x}(1-\sqrt{y})=\sqrt{33+6(1-\sqrt{y})}$$

Пусть $t=1-\sqrt{y}$, тогда

$$-t\sqrt{x}=\sqrt{33+6t}.$$

Значит $t<0 \Rightarrow y>1$ и

$$xt^2=6t+33;$$

$$x=\dfrac{6t+33}{t^2}.$$

Тогда $6t+33>0$, причем $t \in \mathbb{Z}$, так как $t=1-\sqrt{y} \Rightarrow y=(1-t)^2, y \in \mathb{Z}$, то есть $t \in \{ -5; -4; ...; -1 \}$. Но так как $x \in \mathbb{Z}$, то единственное подходящее значение $t=-1 \Rightarrow x=27; y=4$.

То есть $(27; 4)$ единственная пара целых чисел, удовлетворяющая уравнению $\sqrt{xy}-\sqrt{x}=\sqrt{39-6\sqrt{y}}$.

Прав ли я в своих рассуждениях?

[Sonic86]

Keter в сообщении #605881 писал(а):

Пусть $t=1-\sqrt{y}$

Keter в сообщении #605881 писал(а):

причем $t \in \mathbb{Z}$

с чего вдруг?

[Keter]

Sonic86, $t=1-\sqrt{y} \Rightarrow (t-1)^2=y$, а $y$ целое по условию.

[DjD USB]

В правой части ОДЗ $39-6\sqrt{y}\ge0; 0\le\sqrt{y}\le 6$(Т.к $\sqrt{y}$ целое из ваших рассуждений.А дальше перебор.

[Keter]

DjD USB, а если смотреть на мой способ решения, все ли правильно?

[Sonic86]

Keter в сообщении #605888 писал(а):

Sonic86, $t=1-\sqrt{y} \Rightarrow (t-1)^2=y$, а $y$ целое по условию.

По-Вашему, $1-\sqrt{2}$ целое?

[Keter]

Sonic86, $y$ не может равняться двум. Я смотрел на это: $x=\dfrac{6t+33}{t^2}$. Наверное оно сбило меня с толку. А как можно показать, что $t$ целое?

[Sonic86]

Keter в сообщении #605896 писал(а):

А как можно показать, что $t$ целое?

А с чего Вы решили, что это верно?
Почему просто не вернуться к переменной $y$ обратной подстановкой?

[Keter]

Sonic86, а какой в этом смысл? Разве это как то помогает прийти к какому нибудь перебору?
Я выразил $x$ через $t$, причем $x>0; \quad t \in \Big[ \frac{-11}{5}; 0 \Big)$

[muzeum]

Возведите обе части равенства (в начальной записи уравнения) в квадрат: сможете убедиться, что число $\sqrt{y}$ рационально и, значит, целое. Далее, т.к. имеется хорошая оценка сверху для корня из $y$ можно сделать перебор вариантов, которых немного.

[Keter]

muzeum, почему возводя в квадрат я могу утверждать, что $\sqrt{y}$ целое?
$xy+x-39=\sqrt{y}(2 |x| -6)$, я же правильно возвел...

[muzeum]

Модуль для $x$ можно не писать - по ОДЗ он не меньше нуля. Теперь выразите корень из $y$ через $x$ и $y$

[Keter]

muzeum, выразил $\sqrt{y}=\dfrac{xy+x-39}{2x-6}$. Все равно не понимаю, как из этого следует, что корень из $y$ целое.

[muzeum]

Цитата:

выразил $\sqrt{y}=\dfrac{xy+x-39}{2x-6}$. Все равно не понимаю, как из этого следует, что корень из $y$ целое.

То, что $\sqrt{y}$ рациональное, Вы же понимаете?
Тогда элементарное: если квадрат рационального числа есть целое число, то само это число целое. Доказывается тривиально представлением числа несократимой дробью.

[Keter]

muzeum, спасибо, разобрался. А дальше можно и без перебора, пойти моим способом. Так как $\sqrt{y}$ целое, то и $t$ целое... Получается единственное решение $(27; 4)$.