Звёздное небо (можно ли так решать?)

[Ktina]

Задача:
На небе бесконечное число звёзд. Астроном приписал каждой звезде пару натуральных чисел, выражающую яркость и размер. При этом любые две звезды отличаются хотя бы в одном параметре. Доказать, что найдутся две звезды, первая из которых не меньше второй как по яркости, так и по размеру.

Попытка:
Возьмём самую тусклую звезду. Она существует, поскольку множество всех натуральных чисел имеет наименьший элемент. Если самых тусклых несколько - возьмём любую из них. Все остальные звёзды не меньше взятой нами по яркости. Если среди них найдётся звезда, которая не меньше взятой нами также и по размеру, то задача решена. Если же нет, то это означает, что все остальные звёзды меньше взятой нами по размеру. Следовательно, размеров - конечное число. Но так как звёзд бесконечно много, для какого-нибудь размера $n$ найдётся бесконечно много звёзд этого размера. Возьмём любые две из них. Одна из этих двух не меньше другой как по яркости, так и по размеру.

Вопрос:
Что здесь не так? Для чего необходимо рассматривать две звезды - самую тусклую и самую маленькую (как здесь)?

[apriv]

Ktina в сообщении #605122 писал(а):

Задача:
На небе бесконечное число звёзд. Астроном приписал каждой звезде пару натуральных чисел, выражающую яркость и размер. При этом любые две звезды отличаются хотя бы в одном параметре. Доказать, что найдутся две звезды, первая из которых не меньше второй как по яркости, так и по размеру.

Рассмотрим мономы $x^{a_i}y^{b_i}$, где $a_i$, $b_i$ — яркость и размер $i$-ой звезды соответственно, и идеал, порожденный ими в кольце $k[x,y]$. По теореме Гильберта о базисе это кольцо нетерово, поэтому можно выбрать конечное число мономов, порождающих тот же идеал. Посмотрим на любой моном не из этого конечного числа: он лежит в идеале, поэтому делится на какой-нибудь из порождающих его мономов.

[Профессор Снэйп]

apriv в сообщении #605229 писал(а):

По теореме Гильберта о базисе это кольцо нетерово, поэтому можно выбрать конечное число мономов, порождающих тот же идеал. Посмотрим на любой моном не из этого конечного числа: он лежит в идеале, поэтому делится на какой-нибудь из порождающих его мономов.

Чушь какая? Идеал, может, и конечно порождён, но не факт, что это конечное число порождающих можно выбрать из данного бесконечного множества. И при чём здесь делимость: там же суммы, а не только умножения на элементы кольца...

Задача про то, что в ЧУМе $\mathbb{N}^2$ с покомпонентным порядком нет бесконечных антицепей. Утверждение очевидно, каким боком его не крути...

-- Вс авг 12, 2012 13:45:59 --

Чем-то напомнило утверждение про то, что в каждом бесконечном конечно ветвящемся дереве есть бесконечная ветвь.

[apriv]

Профессор Снэйп в сообщении #605232 писал(а):

Чушь какая? Идеал, может, и конечно порождён, но не факт, что это конечное число порождающих можно выбрать из данного бесконечного множества.

Если есть бесконечное множество порождающих конечно порожденного идеала, то найдется их конечное подмножество, порождающее тот же идеал. Доказательство: будем добавлять образующие по одной, цепочка возрастающих идеалов когда-нибудь стабилизируется.

Цитата:

И при чём здесь делимость: там же суммы, а не только умножения на элементы кольца...

Ежели моном получен как сумма каких-то кратных исходных мономам, то каждый из мономов в этой сумме (без приведения подобных) делится на какой-то моном из исходных; поэтому и наш моном делится.

[Профессор Снэйп]

Ну, может и так можно...