Очень нетривиальная задача

[Nataly-Mak]

Начну с критики.
В "шапке" раздела висит тема столетней давности "Al Zimmermann's Programming Contest".

Небось, тот конкурс давным-давно в лету канул

А между тем в данный момент проходит новый конкурс программистов, о котором моя тема в разделе "Свободный полёт". А почему она в этом флеймовом разделе? Да я уже боюсь открывать темы в тематических разделах: всё не так, всё не туда...
Ха! А нашёлся тут человек, который высказал мнение, что теме "Новый конкурс программистов" не место в "Свободном полёте". Опять не туда!

Ну, это так - вступление. На всех, понятно, не угодишь и "на каждый роток не накинешь платок".

А данная тема о весьма интересной задаче именно для программистов.
И даже совсем не обязательно вникать в какие-то там раскраски, о которых и идёт речь в текущем конкурсе. Данная задача возникла, конечно, из этих самых раскрасок. Но для её решения от раскрасок можно полностью абстрагироваться.

Собственно, задача сформулирована здесь
Надо ли дублировать постановку задачи?
Я выложила эту задачу и на форуме конкурса для программистов всего мира. Там тишина пока.

Достаточно сказать, что задача сродни задаче о нахождении комплекта из трёх попарно орогональных латинских квадратов 10-го порядка, которую вот уже десятки лет решают все математики и программисты мира.
Есть даже проект распределённых вычислений (в теме о конкурсе есть ссылка на этот проект), предлагается предоставить свои вычислительные ресурсы для решения этой задачи.

Оротогональность прямоугольников определяется точно так же, как и ортгональность ЛК.
Если на пальцах: наложим один прямоугольник на другой; при этом в соответствующих ячейках образуются упорядоченные пары чисел. Так вот: в двух ортогональных прямоугольниках все эти пары различны.

Всё-таки комплект попарно ортогональных прямоугольников продублирую:

(Оффтоп)

1 10 10 10 10 10 10 10 10 2
2 2 2 2 2 2 2 2 3 3
3 3 3 3 3 3 3 4 4 4
4 4 4 4 4 4 5 5 5 5
5 5 5 5 5 6 6 6 6 6
6 6 6 6 7 7 7 7 7 7
7 7 7 8 8 8 8 8 8 8
8 8 9 9 9 9 9 9 9 9
9 1 10       

1 2 4 6 5 8 3 7 9 10
7 3 6 9 8 1 5 4 3 8
1 7 4 9 2 6 5 4 3 5
10 1 7 8 9 6 5 6 4 8
9 7 10 3 1 3 9 7 8 5
4 1 6 10 1 3 4 9 10 8
5 7 6 10 1 5 7 9 3 6
8 4 9 8 6 7 1 3 10 4
5 2 10       

1 4 3 9 6 5 7 2 8 2
9 5 4 6 3 8 1 7 10 7
6 4 5 1 9 2 8 4 2 7
8 5 6 9 10 1 5 8 2 4
7 1 6 9 10 4 5 8 2 10
9 7 6 1 9 6 8 4 3 1
2 7 5 7 4 9 5 2 1 10
8 6 9 6 7 10 2 8 5 1
4 3 10       

1 6 9 4 2 7 8 5 3 2
1 10 3 8 6 9 7 5 3 2
5 9 1 10 7 8 6 10 6 9
1 8 3 5 7 2 5 7 3 1
6 8 9 2 4 7 2 10 9 1
8 3 6 5 6 1 2 5 8 3
4 7 9 4 2 3 6 1 9 5
8 7 9 10 1 2 7 5 3 6
8 4 10       

1 9 8 7 3 5 6 4 2 2
3 4 1 8 7 10 6 9 3 1
7 6 2 9 8 10 4 5 8 2
7 3 9 6 1 4 8 3 7 4
10 2 1 9 6 2 7 8 3 9
1 4 6 5 2 5 6 3 4 8
1 7 9 3 8 10 1 6 7 2
9 4 4 2 8 5 9 1 6 3
7 5 10       

1 3 7 8 4 9 6 2 5 6
9 1 7 2 5 3 8 4 3 2
6 5 8 9 1 4 7 2 8 9
4 7 1 3 6 5 5 2 9 10
1 3 8 7 4 4 3 6 1 2
5 8 9 7 2 5 1 8 9 4
3 7 10 5 9 6 4 7 2 1
8 3 4 7 3 8 5 9 2 10
1 6 10       

1 5 6 4 7 2 3 9 8 4
5 6 9 1 3 7 8 2 2 6
8 4 3 7 9 5 1 8 7 9
6 4 3 1 5 2 5 3 1 7
4 6 2 8 9 1 9 2 8 4
10 5 6 3 2 9 5 6 8 4
3 10 1 1 3 6 8 2 5 7
9 4 3 5 8 1 6 4 7 9
2 7 10       

1 4 2 9 5 3 7 8 6 2
7 5 3 4 1 9 8 6 8 9
3 5 4 2 6 1 7 7 3 1
8 6 9 2 5 4 9 2 5 6
8 3 7 1 4 9 7 1 4 3
8 2 6 5 5 2 3 1 9 7
6 4 8 3 10 4 2 9 6 7
5 1 3 8 5 6 7 4 1 9
2 8 10       

7 6 4 1 5 3 2 8 9 3
4 9 2 1 5 8 6 7 1 6
4 7 8 2 5 9 3 5 7 1
2 6 3 9 8 4 2 7 6 1
4 5 9 8 3 4 7 6 2 9
3 5 8 1 2 6 1 3 7 8
4 9 5 8 9 7 1 5 3 6
4 2 6 7 3 2 1 5 4 9
8 9 10       

1 2 4 6 5 8 3 7 9 1
9 2 5 8 7 3 4 6 1 9
2 8 5 7 3 4 6 1 9 2
8 7 4 5 6 3 1 2 3 4
5 6 7 8 9 7 4 5 6 3
2 8 1 9 4 6 7 3 5 2
8 1 9 4 6 7 3 2 5 8
1 9 1 3 7 2 5 4 6 8
9 10 10

Ну и - гипотеза моя состоит в следующем: невозможно составить аналогичный комплект из 10 попарно ортогональных прямоугольников 9х10 (заполненных числами от 1 до 10), в которых в последней строке будет 4 элемента.

Гипотезу надо доказать или опровергнуть.
Ну, понятно, что опровергнуть просто: достаточно предоставить комплект из нужных 10 прямоугольников.
Но вот составить его не так просто. Тупой перебор вряд ли даст результат. Нужен перебор "идейный", а для такого перебора нужна эта самая идея.

Доказать, что гипотеза верна, тоже, наверное, непросто. Тут тоже нужна идея - строгая математическая.

[Nataly-Mak]

Попытка найти нужный комплект из 10 прямоугольников 9х10:

(Оффтоп)

1 1 2 1 3 4 5 6 3 1
7 7 8 7 6 4 9 8 6 7
5 5 1 5 8 4 10 1 8 5
9 9 7 9 1 4 3 7 1 9
10 10 5 10 7 4 2 5 7 10
3 3 9 3 5 4 8 9 5 3
2 6 10 2 9 X 1 10 9 2
8 8 3 8 10 4 7 3 10 4
8 6 X 2      

1 6 1 3 4 5 6 3 1 7
7 8 7 6 4 9 8 2 7 5
5 1 5 8 4 10 1 8 5 9
9 7 9 1 4 3 7 1 9 10
10 5 10 7 4 2 5 7 10 3
3 9 3 5 4 8 9 5 3 6
6 10 6 9 4 1 10 9 6 8
8 3 8 10 4 7 3 10 8 4
1 X 6 X      

2 1 3 4 5 2 6 1 7 7
8 7 2 4 9 8 2 7 5 5
1 5 8 4 10 1 8 5 9 9
7 9 1 4 6 7 1 9 10 10
5 10 7 4 2 5 7 10 3 6
9 3 5 4 8 9 5 3 2 2
10 2 9 4 1 10 9 2 8 8
3 8 10 4 7 6 10 8 1 4
1 X 3 X      

1 3 4 5 2 3 1 7 7 8
7 2 4 9 6 2 7 5 5 1
5 6 4 10 1 8 5 9 9 7
9 1 4 3 7 1 9 10 10 5
10 7 4 2 5 7 10 3 3 9
3 5 4 8 9 5 3 2 2 10
2 9 4 1 10 9 2 8 8 3
8 10 4 7 3 10 6 1 1 4
2 3 6 8      

6 4 5 2 6 1 7 7 8 7
2 4 9 8 2 7 5 5 1 5
8 4 10 1 8 5 9 9 7 9
1 4 3 7 1 9 10 10 5 10
7 4 2 5 7 10 6 6 9 6
5 X 8 9 5 3 2 2 10 2
9 4 1 10 9 2 8 8 3 8
10 4 7 6 10 8 1 1 2 4
1 3 6 X      

4 5 2 3 1 7 7 8 7 2
4 9 8 2 7 5 5 1 5 8
4 10 1 8 5 9 9 7 9 1
4 3 7 1 9 10 10 5 10 7
4 2 5 7 10 3 3 9 3 5
6 8 9 5 3 2 2 10 2 9
4 1 10 9 2 8 8 3 8 10
4 7 3 10 8 1 1 2 1 4
3 4 X X      

5 2 3 6 7 7 8 7 2 4
1 8 2 7 5 5 6 5 8 4
10 6 8 5 9 9 7 9 6 4
3 7 6 1 10 10 5 10 7 4
2 5 7 10 3 3 9 3 5 4
8 9 5 3 2 2 10 2 9 4
6 10 9 2 8 8 3 8 10 4
7 3 10 8 6 6 2 6 3 4
4 9 X X      

2 3 1 7 7 8 7 2 4 9
8 2 7 5 5 1 5 8 4 10
6 8 5 9 9 7 9 6 4 3
7 1 9 10 10 5 10 7 4 2
5 7 10 3 3 9 3 5 4 8
9 X 3 2 2 10 2 9 4 1
10 9 2 8 8 3 8 10 4 7
3 10 8 1 6 2 1 3 4 4
5 1 6 X      

3 6 7 7 8 7 2 4 9 1
2 7 5 5 6 5 1 4 10 6
8 5 9 9 7 9 6 4 3 7
6 9 10 10 5 10 7 4 2 5
7 10 3 3 9 3 5 4 X 9
5 3 2 2 10 2 9 4 6 10
9 2 8 1 3 8 10 4 7 3
10 1 6 6 2 6 3 4 5 4
2 1 1 X      

1 7 7 8 7 2 4 9 8 2
7 5 5 1 5 8 4 10 1 8
5 6 6 7 9 1 4 3 7 1
9 10 10 5 10 7 4 2 5 7
10 3 3 9 3 5 4 8 X 5
3 2 2 10 2 9 4 1 10 9
2 8 8 3 8 X 4 7 3 10
8 1 1 2 1 3 4 5 2 4
3 6 X X

Прямоугольники хорошие, но... в них есть 20 пустых ячеек

[в пустых ячейках стоит символ Х; в прямоугольниках последняя строка неполная, но эти незаполненные ячейки не относятся к пустым ячейкам]

Если в эти пустые ячейки поставить любые числа больше 10, прямоугольники будут попарно ортогональны. А вот заполнить пустые ячейки числами от 1 до 10 с сохранением попарной ортогональности прямоугольников не удаётся
При этом можно ведь как угодно изменять уже имеющиеся элементы прямоугольников, разумеется, только на числа от 1 до 10.

(Оффтоп)

Интересно, а почему все молчат?
Может быть, это очень даже тривиальная задача?
Просто я не вижу очевидного? Ну, так покажите мне это очевидное, пожалуйста

[Pavia]

Nataly-Mak
Вы бы с начало условие опубликовали. А потом уж ваши мысли.

[Nataly-Mak]

Pavia в сообщении #605567 писал(а):

Nataly-Mak
Вы бы с начало условие опубликовали. А потом уж ваши мысли.

"С начало" - это как?

Я условие опубликовала. Во-первых, дала ссылку на тему, где всё это очень подробно обсуждается.
Во-вторых, продублировала здесь комплект из 10 попарно ортогональных прямоугольников 9х10 с неполной последней строкой, заполненных числами от 1 до 10 (вы в тег off загляните, комплект там; под этим тегом на этом форуме прячут не только оффтоп, но и очень нужные вещи, которые громоздкие). Привела определение ортогональных прямоугльников, правда, слегка популярное - на пальцах, но сути это не меняет.

В-третьих, сформулировала свою гипотезу.

Какие вопросы по условию?

[cepesh]

Тема перемещена из форума «Программирование» в форум «Олимпиадные задачи (CS)»
Причина переноса: не указана.