Функция с неотрицательными значениями

[Ktina]

Функция $f(x)$ задана на отрезке $[0,1]$ и принимает на нём неотрицательные значения. Известно, что $f(1) = 1$, а также

$$\forall x_1, x_2 \in [0,1]:\quad x_1+x_2\le 1\to f(x_1+x_2)\ge f(x_1)+f(x_2)$$

Доказать или опровергнуть:

а) $\forall x\in [0, 1]:\quad f(x)\le 2x$

б) $\forall x\in [0, 1]:\quad f(x)\le\frac{19}{10}x$

[MajorUrsus]

1) Из основного неравенства условия задачи и из того, что функция неотрицательна, следует, что функция неубывающая.
2) Из $f(x_1 + x_2)\ge f(x_1) + f(x_2)$ следует $f(x_1 + x_2 + x_3)\ge f(x_1) + f(x_2) + f(x_3)$ и т.д., а потому для любого натурального n: $f(\frac1n)\le \frac1n$.
3) Из двух предыдущих утверждений следует, что при условии $x\le \frac1n$ выполняется $f(x)\le \frac1n$.
4) Следовательно, при $\frac12 < x \le 1$ выполняется $f(x)\le 1$, то есть $f(x)\le 2x$.
5) При $\frac13 < x \le \frac12$ выполняется $f(x)\le \frac12$, то есть $f(x) \le \frac32x$ \le 2x.
6) И т.д., так что ответ на вопрос a) положительный.
7) Ответ на вопрос b) отрицательный. Контрпример:
$f(x) = 0$ при $0 \le x \le 0,501$,
$f(x) = 1$ при $0,501 < x \le 1$.