Эквивалентность норм в пространствах функций

[dzh0rdzh1]

Помогите, пожалуйста, разобраться в след. вопросе.
$E,F$ - банаховы пространства, $A$ - открытое множество в $E,$ $C^2(A,F)$ - пространство всех дважды непрерывно дифференцируемых функций из $A$ в $F,$ ограниченных вместе с производными. На $C^2(A,F)$ рассматриваются две нормы:
$\|f\|_1=\sup_{x\in A}\sum^2_{k=0}\|f^{(k)}(x)\|, \ \|f\|_{2}=\sup_{x\in A}(\|f(x)\|+\|f^{(2)}(x)\|).
В случае $A=E$ нормы эквивалентны: чтобы ограничить $\|f^{(1)}(x)h\|$ достаточно рассмотреть прямую $g(t)=f(x+th)$ и использовать неравенство $\sup_{t\in \mathbb{R}}\|g^{(1)}(t)\|\leq\sqrt{2\sup_{t\in \mathbb{R}}\|g(t)\|\sup_{t\in \mathbb{R}}\|g^{(2)}(t)\|}$.
Будет ли нормы эквивалентны в случае, когда $A$ - открытый шар?

[Oleg Zubelevich]

Да будут. Пусть $P:\Omega\subseteq X\to Y$ -- нелинейный оператор имеющий сильную производную в $\Omega$, $X,Y$ -- ,Банаховы пространства. Тогда

$$\int_0^xP'(u)du=P(x)-P(0)$$

Подробности про то что это за интеграл см. [Канторович Акилов Функциональный Анализ]
Если взять $P'=f''$ то Вы получите оценку первой производной через вторую в шаре.

[dzh0rdzh1]

Спасибо, сейчас понял! Сначала оценивается первая производная через значение в нуле и вторую производную. А значение в нуле можно оценить так, как в первом случае.