Главный идеал, порожденный идемпотентами кольца

[User64]

Доброго времени суток!
Поставлена вот такая задача:
"Пусть $e, f$ - идемпотенты кольца с $1$ такие, что $ef=fe$. Необходимо доказать, что правый идеал, порожденный элементами $e$ и $f$, является главным."

Помогите пожалуйста разобраться, каким образом надо доказывать данное утверждение.
p.s. Непонятна еще формулировка. Правый идеал, порожден элементами $e$ и $f$, является главным, но главный идеал - это идеал, порожденный одним элементом. как быть?)

[muzeum]

Если в кольце 2 является обратимым элементом, то рассмотрите элемент $e+f$.
Если 2 необратим, то сомневаюсь.

[muzeum]

Если дополнительных условий не имеется, то утверждение следуе опровергать, т.е. привести пример кольца (можно коммутативного), в котором два коммутирующих идемпотента порождают не главный идеал.

Цитата:

p.s. Непонятна еще формулировка. Правый идеал, порожден элементами e и f, является главным, но главный идеал - это идеал, порожденный одним элементом. как быть?)

То, что идеал порождается двумя элементами, еще не значит, что он не порождается каким-нибудь одним элементом. Например в кольце целых чисел идеал, порожденный числами 4 и 6 совпадает с идеалом, порожденным числом 2.

[User64]

muzeum, спасибо за разъяснение.

muzeum в сообщении #604785 писал(а):

Если дополнительных условий не имеется, то утверждение следуе опровергать, т.е. привести пример кольца (можно коммутативного), в котором два коммутирующих идемпотента порождают не главный идеал.

а такое кольцо точно есть? а то че-то мне его сходу не придумать... :(

[muzeum]

Цитата:

а такое кольцо точно есть? а то че-то мне его сходу не придумать...

Пусть $S=\{1,e,f,\theta\}$ - коммутативная идемпотентная полугруппа с единицей $1$ и нулем $\theta$. Произведение $ef=\theta$.
Рассмотрите полугрупповое кольцо $ZS$ с неотождествленным нулем (ноль полугруппы не равен нулю кольца: $\theta\ne0$).

[User64]

muzeum в сообщении #605224 писал(а):

Пусть $S=\{1,e,f,\theta\}$ - коммутативная идемпотентная полугруппа с единицей $1$ и нулем $\theta$. Произведение $ef=\theta$.
Рассмотрите полугрупповое кольцо $ZS$ с неотождествленным нулем (ноль полугруппы не равен нулю кольца: $\theta\ne0$).

Большое спасибо за помощь! Буду разбираться.