Простейшая задача из аналитической геометрии.

[doom_ne]

Докажите, что точка $C$ лежит на отрезке АВ тогда и только тогда, когда существует число $\lambda\in[0,1]$ такое, что для любой точки $O$ выполнено $\vec {OC} = \lambda \vec {OA} + (1-\lambda)\vec {OB}$. Если $\lambda$ дано, то в каком отношении точка $C$ делит отрезок $AB$?

Не понимаю, как доказать принадлежность точки отрезку. Да, если бы была бы к примеру задана функция, по которой определяется отрезок, то конечно, поставляя значения координаты точки, я бы мог сказать, принадлежит ли точка необходимому интервалу, или нет(вы уж простите меня за эти рассуждения, если они с мат-й т. зр. глупы, я гуманитарий желающий изучить математику). Но как это выглядит в векторном смысле...

Да, понимаю, что заданное отношение( $\vec {OC} = \lambda \vec {OA} + (1-\lambda)\vec {OB}$ ), устанавливает зависимость векторов, таким образом, что где бы не выбрали точку приложения векторов (т. О) $\vec {OA}$, $\vec {OB}$ ,$\vec {OC}$ (вероятно при условии направления векторов в одну координатную четверть) соединяя концы векторов, $A$ и $B$ мы обязательно проведём линию через $C$.

А вот, что у меня получилось... (построив треугольник $\Delta AOB$ с точкой $C$ на $AB$)

$\vec {OC} = \vec {OA} + \vec {AC}$
$\vec {OC} = \vec {OB} + \vec {BC}$
$\vec {OC} = \lambda \vec {OA} + \vec {OB} -\lambda\vec {OB}$
$\vec {OC} = \lambda (\vec {OA} - \vec {OB}) +\vec {OB}$
$\vec {OA} - \vec {OB} = \vec {BC} - \vec {AC}$
$\vec {OC} = \lambda (\vec {BC} - \vec {AC}) +\vec {OB}$
$\vec {OC} - \vec {OB} = \vec {BC}$
$\vec {BC} = \lambda\vec {BC} - \lambda\vec {AC}$
$\vec {BC}(\lambda - 1) = \lambda\vec {AC}$
$\vec {BC}(\lambda - 1) - \lambda\vec {AC} = 0$
$(\lambda_1 - 1) - \lambda_2 = 0$

И теперь, силой божьего провидения если подставить под первую $\lambda_1 = 1$, а под $\lambda_2 = 0$, как указано в тех зловещих скобках ( в условии) $\lambda\in[0,1]$, тогда вероятно $0=0$, и это что-то доказывает ))

На самом деле прошу помочь разобраться, мне нужна идея, которой необходимо следовать в доказательствах. Спасибо за внимание.

[Shtorm]

Написал я чушь и стёр.

[svv]

Так как $\vec{OC}=\vec{OB}+\vec{BC}$ и $\vec{OA}=\vec{OB}+\vec{BA}$, то условие $\vec {OC} = \lambda \vec {OA} + (1-\lambda)\vec {OB}$ эквивалентно $\vec{BC}=\lambda\vec{BA}$.
Это означает, что точка $C$ лежит на прямой $BA$, а при $\lambda\in[0,1]$ ещё и между точками $B$ и $A$ (включительно). Причем $|BC|=\lambda |BA|$.

[Shtorm]

doom_ne в сообщении #604672 писал(а):

...Если $\lambda$ дано, то в каком отношении точка С делит отрезок АB?
...

Продолжая решение svv, напишем:
чтобы найти отношение, в каком точка C делит отрезок, нужно найти отношение $\frac {|AC|}{|CB|}$
$\frac {|AC|}{|CB|}=\frac {|AC|}{\lambda |BA|}$;

$|BA|=\frac {|BC|}{\lambda}; $

$|AC|=|AB|-|CB|=\frac {|BC|}{\lambda}-|BC|$ И дальше легко приходим к ответу

[doom_ne]

Спасибо большое) Правда я ещё посидел минут 15-20 над вашим решением, что бы его осознать, но да, ваши рассуждения верны)