мат.ожидание полусуммы двух случайных величин.

[Nosocheg]

Добрый день.
Очень прошу помочь мне разобраться с одной задачкой, мучаюсь с ней довольно долго.
Задача:
Найти мат.ожидание от полусуммы двух случайных величин, распределенных по логнормальному распределению.

Мой ход решения:

$$\nu=\ln{\frac{\xi_1+\xi_2}{2}}$$

$$M(\nu)=M(\ln{\xi_1+\xi_2})-\ln{2}=\int \ln{x}p_{\xi_1+\xi_2}(x)dx-\ln{2}$$

Где $p_{\xi_1+\xi_2}(x)$ вычисляется по формуле свертки:

$$p_{\xi_1+\xi_2}(x)=\int_0^x \frac{1}{x(x-y)\theta^22\pi}e^{-\frac{(\ln{x}-\mu)^2}{2\theta^2}-\frac{(\ln{x-y}-\mu)^2}{2\theta^2}}dy$$

Вся проблема возникает в интеграле.
Очень надеюсь на вашу помощь в решении этой задачи.

[ИСН]

Откуда всех этих букв? Полусумма - это просто половина суммы. А матожидание суммы - это сумма матожиданий.

[Евгений Машеров]

А зачем у Вас логарифм в формуле для полусуммы?

[Nosocheg]

Прошу прощения, опечатался.
Мат.ожидание от логарифма полусуммы двух случайных величин.

[Евгений Машеров]

Приближённое значение получить довольно просто.
Воспользоваться разложением логарифма в ряд, дисперсии и матожидания логнормальных распределений известны, для полусуммы тоже очевидно.
Далее
http://en.wikipedia.org/wiki/Taylor_exp ... _variables
Можно и для следующих членов разложения рассчитать, выше второго порядка, но там уже непренебрежимы нечётные члены, и моменты высших порядков уже не равны сумме моментов (но "нормальные герои всегда идут в обход" - можно складывать семиинварианты, а уж из них получать моменты).

[Nosocheg]

Здравствуйте, т.е. получается как-то так:

$$E(\ln{\omega})=E(\ln{M(\xi_1)+M(\xi_2)}+\frac{1}{M(\xi_1)+M(\xi_2)}(\xi_1+\xi_2-M(\xi_1)+M(\xi_2))+\frac{1}{4}\frac{1}{(M(\xi_1)+M(\xi_2))^2}(\xi_1+\xi_2-(M(\xi_1)+M(\xi_2)))^2)=$$

$$=\ln{e^{\mu_1+\frac{\theta_1^2}{2}}}+e^{\mu_2+\frac{\theta_2^2}{2}}+\frac{1}{4}\frac{1}{e^{\mu_1+\frac{\theta_1^2}{2}}} +e^{2\mu_1+2\theta_1^2} +e^{2\mu_2+2\theta_2^2} +e^{\mu_1+\mu_2+\frac{\theta_1^2}{2}+\frac{\theta_2^2}{2}} +\frac{3}{4}$$

За $\omega$ я принимаю $\xi_1+\xi_2$
Двойку я вынес, так что здесь только логарифм суммы двух случайных величин.
P.S.
Извините, если есть какие-то серьезные ошибки.