Теория управления. Градиентный наблюдатель.

[amaora]

Есть система заданная следующими равенствами. Это синхронный электродвигатель.

$$ \left \{ \begin{aligned} {dI_a \over dt} &= {1 \over L}(U_a - I_aR - E_a) \\ {dI_b \over dt} &= {1 \over L}(U_b - I_bR - E_b) \\ E_a &= K_e \omega \sin(\alpha Z) \\ E_b &= K_e \omega \sin(\alpha Z + {{2 \pi} \over 3}) \\ {d\omega \over dt} &= {T \ over J} - B \omega \\ T &= K_e I_a \sin(\alpha Z) + \\ & K_e I_b \sin(\alpha Z + {{2 \pi} \over 3}) +\\ & K_e (- I_a - I_b) \sin(\alpha Z - {{2 \pi} \over 3}) \\ {d\alpha \over dt} &= \omega \end{aligned} $$

Надо синтезировать для неё наблюдатель. На данный момент результат следующий.

Переходим к ортогональной системе координат с помощью альфа-бета преобразования (оно же преобразование Кларка).

$$ \begin{aligned} I_\alpha &= I_a \\ I_\beta &= {1 \over \sqrt{3}} I_a + {2 \over \sqrt{3}} I_b \end{aligned} $$

Для напряжения аналогично. И используем упрощенную дискретную модель.

$$ \left \{ \begin{aligned} I_\alpha(n+1) &= I_\alpha(n) (1 - T{R \over L}) + U_\alpha(n) T{1 \over L} - E_\alpha(n) T{1 \over L} K_e \omega(n) Z \\ I_\beta(n+1) &= I_\beta(n) (1 - T{R \over L}) + U_\beta(n) T{1 \over L} - E_\beta(n) T{1 \over L} K_e \omega(n) Z \\ \omega(n+1) &= \omega(n) + T{1 \over J} K_e Z (I_\alpha(n) E_\alpha(n) + I_\beta(n) E_\beta(n)) - T B \omega(n) \\ E_\alpha(n+1) &= E_\alpha(n) - E_\beta(n) \omega(n) Z T \\ E_\beta(n+1) &= E_\beta(n) + E_\alpha(n) \omega(n) Z T \\ \end{aligned} $$

Где T - период дискретизации.

Записываем наблюдатель по классической схеме. Далее обозначим за F вышеуказанное преобразование вектора состояния.

$$ \begin{aligned} x_{n+1} &= F(x_{n}, u_{n}) \\ z_{n}^* &= \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix} x_n \\ e_{n} &= i_{n} - z_{n}^* \\ z_{n} &= z_{n}^* + e_{n} K \end{aligned} $$

Здесь u_n - известное входное напряжение (U_\alpha и U_\beta), i_n - измеренное значение тока (выход настоящей системы).

Весь вопрос в выборе матрицы K, которая очевидно не может быть постоянной.

Двигаемся дальше. Записываем функцию оценки отклонения состояния наблюдателя от состояния системы, или просто квадрат ошибки e_n.

$$ \begin{aligned} J_n = e_{n}^2 \end{aligned} $$

Находим градиент J_n в пространстве состояний (возможно лучше называть это производной Ли, т.к. J_n не скаляр).

$$ \operatorname{grad} J_n = - {1 \over 2} e_n \begin{pmatrix} 1 - T{R \over L} & 0 \\ 0 & 1 - T{R \over L} \\ -E_\alpha(n) T{1 \over L} K_e Z & -E_\beta(n) T{1 \over L} K_e Z \\ -T{1 \over L} K_e \omega Z & 0 \\ 0 & -T{1 \over L} K_e \omega Z \end{pmatrix} $$

Выбираем матрицу K так, чтобы наблюдатель двигался `против градиента` уменьшая ошибку.

$$ K = \mu \operatorname{grad} J_n $$

Теперь вопрос в выборе оптимального \mu. Либо есть вариант выбирать этот шаг таким образом, чтобы каждый раз оказываться в некоторой окрестности поверхности заданной уравнением.

$$ \begin{aligned} J_n = 0 \end{aligned} $$

Если я правильно понял в таком случае наблюдатель будет `sliding mode` (хорошего перевода не знаю). Не понятно насколько это лучше асимптотической сходимости.

Вопрос второй, как лучше сделать, что почитать. Пока я даже не уверен, что эта конструкция называется именно так я указал в заголовке. Идея пришла после ознакомления с MRAC и градиентным идентификатором. Возможно есть какие-то улучшения метода.

Вопрос третий, какие есть ещё варианты построения идентификатора исключая добавление идентифицируемых переменных в вектор состояния и использование ещё раз градиентного метода?

Дополнительные условия.

1. В измерениях i_n неизбежно будет шум.
2. Модификации фильтра Калмана (EKF/UKF) вычислительно тяжелы и не годятся в качестве наблюдателя.

Моделирую работу двигателя и наблюдателя численно в octave, пока результаты не очень хороши, иногда возникают долго незатухающие колебания в наблюдателе.

Спасибо.

[amaora]

Нашел много интересного по теме вот здесь.

http://www-bcf.usc.edu/~ioannou/Robust_ ... ontrol.htm