Неолимпиадная, но интересная задачка

[alexo2]

Доказать, что

$a^5 - 1 = 10b(b-1)$

не имеет решений в натуральных числах

[arqady]

alexo2 в сообщении #603149 писал(а):

Доказать, что

$a^5 - 1 = 10b(b-1)$

не имеет решений в натуральных числах

А если $a=b=1$?

[Sonic86]

(можно начать так)

alexo2 в сообщении #603149 писал(а):

$a^5 - 1 = 10b(b-1)$

$\Leftrightarrow 2(a^5-1)=5((2b-1)^2-1)\Leftrightarrow 2a^5+3=5(2b-1)^2\Leftrightarrow 2a^5+3=5c^2$ (случай $2\mid c$ невозможен). Дальше не знаю.

[alexo2]

arqady в сообщении #603156 писал(а):

alexo2 в сообщении #603149 писал(а):

Доказать, что

$a^5 - 1 = 10b(b-1)$

не имеет решений в натуральных числах

А если $a=b=1$?

Хорошо, "Доказать....., если $a\neq \ne b \neq \ne 1$"

[DjD USB]

Sonic86 в сообщении #603160 писал(а):

(можно начать так)

alexo2 в сообщении #603149 писал(а):

$a^5 - 1 = 10b(b-1)$

$\Leftrightarrow 2(a^5-1)=5((2b-1)^2-1)\Leftrightarrow 2a^5+3=5(2b-1)^2\Leftrightarrow 2a^5+3=5c^2$ (случай $2\mid c$ невозможен). Дальше не знаю.

Дальше идем $2a^2=(c-1)(c+1)+2(2c^2-1)$ Очевидно с нечетно и видим что третья скобка не делится на 4 а вторая делится значит правая часть не делится на 4 значит а тоже нечетно.Теперь смотрим на равенство $2a^5+3=5c^2$ Рассмотрим остатки обеих частей равенства при делении на 4 Левая часть всегда дает остаток 2 а правая остаток 1.(Если что-то напутал поправьте пожалуйста)

[Sonic86]

DjD USB, дело в том, что уравнение имеет решение $(a,c)=(1,1)$. А раз само уравнение имеет решение, то и его редукция по любому модулю имеет решение. Т.е., какой бы Вы модуль не рассматривали, у полученного сравнения всегда будет решение.
Можно, по идее, попробовать разложить квадратичную часть на множители в соответствующем кольце и там решать. Но у меня для такого слишком мало мозгов. Да и зачем?

[DjD USB]

Sonic86 в сообщении #603235 писал(а):

DjD USB, дело в том, что уравнение имеет решение $(a,c)=(1,1)$. А раз само уравнение имеет решение, то и его редукция по любому модулю имеет решение. Т.е., какой бы Вы модуль не рассматривали, у полученного сравнения всегда будет решение.
Можно, по идее, попробовать разложить квадратичную часть на множители в соответствующем кольце и там решать. Но у меня для такого слишком мало мозгов. Да и зачем?

А почему у меня получилось что нет решений?

-- Вс авг 05, 2012 18:39:30 --

alexo2 в сообщении #603149 писал(а):

Доказать, что

$a^5 - 1 = 10b(b-1)$

не имеет решений в натуральных числах

вот легче $1-a^5=10b(b-1)$ тоже самое условие

[maxal]

DjD USB в сообщении #603236 писал(а):

А почему у меня получилось что нет решений?

Потому что вот здесь ошибка (держите в голове случай $a=c=1$):

DjD USB в сообщении #603233 писал(а):

Теперь смотрим на равенство $2a^5+3=5c^2$ Рассмотрим остатки обеих частей равенства при делении на 4 Левая часть всегда дает остаток 2 а правая остаток 1.