Непрерывно дифференцируемая функция (IMC-2012)

[xmaister]

Пусть $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$- непрерывно дифференцируемая, такая что $f'(x)>f(f(x))$ для всех $x$. Докажите, что $f(f(f(t)))\le 0$ для всех $t\ge 0$.

[Esp_]

Было бы интересно посмотреть на решение.
Сам в матане не специалист, но задача очень понравилась. За пару часов попыток расколоть орех не удалось.
(зы: посмотрел другие задачи с IMC, это просто убой)

[xmaister]

(Оффтоп)

Esp_, на самой олимпиаде её только 1 решил из 300 с лишним человек . Я, естесно, на олимпиаде её не поднял, хотя убил больше 2ух часов, за что обидно, конечно. Задача сложная. Если нужно, могу выложить авторское решение.

[Esp_]

Я бы посмотрел сборник тождеств для $f`(x)$ и $f(f(x))$, кроме цепного правила для дифференцирования сложной функции ничего вразумительного на ум не пришло, из последнего, в свою очередь, не получилось ничего вразумительного вывести.

-- Чт авг 09, 2012 13:15:01 --

xmaister

Ого, так это как раз тот случай с очень простой формулировкой, но тяжелым решением, кто бы мог подумать.

Было бы здорово, если бы вы выложили первую подсказку, направление решения.

[xmaister]

1. Докажите, что либо $\lim\limits_{t\to +\infty}f(t)$ не существует, либо $\lim\limits_{t\to +\infty}\ne +\infty$

[worm2]

Всё очень туго идёт, причём даже в очевидных местах.
BTW, я даже не могу придумать пример функции, удовлетворяющей условию, у которой $f(f(x))>0$ в какой-то точке.

[xmaister]

worm2 в сообщении #604771 писал(а):

я даже не могу придумать пример функции, удовлетворяющей условию, у которой $f(f(x))>0$ в какой-то точке.

Я такого примера тоже не знаю, а зачем он?

Лемма 1:Либо $\lim\limits_{t\to +\infty}f(t)$ не существует, либо $\lim\limits_{t\to +\infty}\ne +\infty$.

Доказательство: Положим, что $\lim\limits_{t\to +\infty}=+\infty$, тогда существует $T_1>0$, такое что для каждого $t>T_1$ $f(t)>2$. Существует $T_2$, такое что $f(t)>T_1$, для каждого $t>T_2$. Тогда $f'(t)>f(f(t))>2$ для каждого $t>T_2$, откуда существует $T_3$, такое что $f(t)>t$ для $t>T_3$. Имеем $f'(t)>f(f(t))>f(t), \frac{f'(t)}{f(t)}>1$. Интегрируем неравентсво, получаем $f(t)>T_3e^{t-T_3},t>T_3$. Ещё раз интегрирую, получаем, что $e^{-f(T_3)}-e^{-f(t)}>(t-T_3)T_3e^{-T_3}$. Правая часть последнего неравенства не ограничена, а левая ограничена. Противоречие.

Теперь, с помощью леммы 1, докажите, что для всех $t>0$ $f(t)<t$.

[worm2]

xmaister писал(а):

Я такого примера тоже не знаю, а зачем он?

Я к тому, что, может быть, верно более сильное утверждение: $\forall x\in\mathbb{R}: f(f(x))<0$, из которого мгновенно следует утверждение задачи.

xmaister писал(а):

Теперь, с помощью леммы 1, докажите, что для всех $t>0$ $f(t)<t$.

Забавно, я как раз это доказывал сначала, и с помощью этого пытался доказать Лемму 1

[xmaister]

worm2 в сообщении #604783 писал(а):

я как раз это доказывал сначала

А можно посмотреть на Ваши выкладки?

В таком случае предлагаю доказать:
1. Если $f(s_1)>0, f(s_2)\ge s_1$, то $ f(s)>s_1,s>s_2$
2. Если $s_1\le 0,f(s_1)>0$, тогда $f(s)>s_1, s>s_1$

[xmaister]

Докажите последнее утверждение и из него следует утверждение задачи.

[worm2]

xmaister писал(а):

А можно посмотреть на Ваши выкладки?

Я полностью выкладывать не буду, там кромешный ад . Сначала доказывается, что $f$ не может быть полностью больше $x$, это сравнительно легко, там та же идея (производная $f(f(x))$ растёт быстрее, чем производная $f(x)$). Потом рассматривается вариант, когда для какого-то $x>0$ $f(x)=x$. Вариант сводится к $x=0$, рассматриваются различные случаи $f'(0)$. Самый сложный случай, когда она лежит в диапазоне от 0 до 1. Показывается, что в этом случае функция ещё раз пересечёт $y=x$, но уже с производной, большей 1. Во всех случаях получается, что $f$ неограниченно растёт до противоречия.

После этого Лемма 1 доказывается легко: если $f$ неограниченно возрастает, то и $f(f)$ неограниченно возрастает, вместе с ней $f'$, что рано или поздно приведёт к противоречию с $f(x)<x$.

-- Сб авг 11, 2012 10:23:03 --

xmaister писал(а):

Если $f(s_1)>0, f(s_2)\ge s_1$, то $ f(s)>s_1,s>s_2$

Если $f(x)<s_1$ для какого-то $s>s_2$, то между $s$ и $s_2$ существует точка $s_3$, в которой $f(s_3) = s_1$, причём $f'(s_3)\leqslant 0$. Но $f(f(s_3))=f(s_1)>0$, что противоречит главному условию на функцию.

-- Сб авг 11, 2012 10:27:59 --

2) аналогично доказывается, $s_3$ между $s_1$ и $s$.