Точная нижняя грань

[cool.phenon]

Есть одна теорема

$\forall {{f}_{1}}\left( x \right):\left( a;b \right)\to \mathbb{R},{{f}_{2}}\left( x \right):\left( a;b \right)\to \mathbb{R}:\underset{x\in \left( a;b \right)}{\mathop{\inf }}\,\left( {{f}_{1}}+{{f}_{2}} \right)\left( x \right)\ge \underset{x\in \left( a;b \right)}{\mathop{\inf }}\,{{f}_{1}}\left( x \right)+\underset{x\in \left( a;b \right)}{\mathop{\inf }}\,{{f}_{2}}\left( x \right)$

Т.е, для любых двух функций на отрезке выполняется неравенство с точными нижними гранями.
Как её можно доказать? Никакая идея не приходит

[ewert]

А если инфимумы заменить на просто минимумы -- достаточно очевидно будет?...

Если да, то вот на эту идею и ориентируйтесь.

[cool.phenon]

Неравенство вроде бы и очевидное,но..
вообще я к нему прицепился потому,что увидел в справочнике Антидемидовича доказательство этой теоремы,которое звучит примерно так:

$$a>b,c>b\Rightarrow a>c$$

Но это же не так! Поэтому и пытаюсь что-то придумать.

ewert
Здесь первое,что хочется применить-определение минимума. Но это бесполезно. Какую еще идею можно использовать?

[svv]

Если $f_1 (x)\geqslant 3$ и $f_2(x)\geqslant 5$, то $f_1(x)+f_2(x)$ не может быть меньше $8$.

[cool.phenon]

svv в сообщении #601728 писал(а):

Если $f_1 (x)\geqslant 3$ и $f_2(x)\geqslant 5$, то $f_1(x)+f_2(x)$ не может быть меньше $8$.

Ну это понятно. Но какое это имеет отношение к задаче? Минимум функции $f_1(x)+f_2(x)$ может принимать что угодно.

-- 01.08.2012, 00:16 --

svv
Стоп,кажется, я понял. Раз сама функция не может принимать значение, меньше заранее указанного числа,то и её минимум тоже принимает значения не меньше этого числа. Тогда это вообще очевидная задача,как я её не решил,сам не знаю

[svv]

cool.phenon, Вы молодец.

[Профессор Снэйп]

Сумма инфимумов - это какая-то нижняя грань, а инфимум суммы - наибольшая нижняя грань.

[xmaister]

Может ещё такие рассуждения прокатят?
$A_1=\{f_1(x)|x\in (a,b)\}, A_2=\{f_2(x)|x\in (a,b)\}$, тогда $\inf A_1=\inf\limits_{x\in (a,b)}f_1(x)$. Пусть $a\in\mathbb{R}$, тогда $\inf (a+A_1)=a+\inf A_1$ в силу определения инфумума и того, что $x\mapsto a+x,x\in\mathbb{R}$- гомеоморфизм. Положим, что $y\in (a,b)$- произвольное, тогда $\inf(f_1(y)+A_2)=f_1(y)+\inf A_2$. Далее $\inf(A_1+A_2)\ge \inf (A_1+\inf A_2)=\inf A_1+\inf A_2$.

(Оффтоп)

Пусть у нас есть произвольное ТВП $X$, топология которого порождается отношением линейного порядка, и 2 произвольные функции $f_1,f_2: X\to X$. Будет ли тоже самое? Заранее извините за возможную бредятину...