2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Задача про числа
Сообщение30.07.2012, 15:06 
На доске написаны числа 2,3 и 9.Разрешается стирать пару чисел a и b и писать вместо них пару $a+b+\sqrt{a^2+b^2}$ и $a+b-\sqrt{a^2+b^2}$Может ли одно из чисел стать меньше единицы

 
 
 
 Re: Задача про числа
Сообщение30.07.2012, 16:05 
Аватара пользователя
Проверьте, что при таком преобразовании не изменяется сумма чисел, обратных к трём записанным на доске.

 
 
 
 Re: Задача про числа
Сообщение30.07.2012, 21:08 
svv, а как (и можно ли; вы догадались или у вас был алгоритм?) в общем случае найти инвариант?

 
 
 
 Re: Задача про числа
Сообщение30.07.2012, 22:19 
Аватара пользователя
arseniiv в сообщении #601221 писал(а):
svv, а как (и можно ли; вы догадались или у вас был алгоритм?) в общем случае найти инвариант?

Вы вопрос можете свой (про инвариант) сформулировать формально? :shock:

 
 
 
 Re: Задача про числа
Сообщение31.07.2012, 00:03 
Аватара пользователя
Хе-хе...
Нет, алгоритма у меня не было. Был компьютер (в смысле, среда программирования). Я поместил на форму три кнопки, по каждой "это" производилось над соответствующей парой чисел. Дальше оставалось по-всякому нажимать на кнопки и следить за тем, как меняются числа.

Сначала я подумал: неужели всегда в таких задачах ответ "Невозможно"? А я возьму и найду способ. Минут через пять понял, что вряд ли. Два числа становятся очень большими, а третье уменьшается до 1.058... и дальше не хочет.

Была пара идей, которые выглядели перспективными, но из них ничего не получилось. Сумма чисел в преобразованной паре удваивается. Произведение тоже удваивается. Ну, и... ничего.

В конце концов решил посмотреть, а как ведут себя обратные величины. И заинтересовался их суммой $\frac 1 a+\frac 1 b+\frac 1 c$. Думал, сумма уменьшается, стремясь к пределу. Смотрю — а она стоит как вкопанная. :D

 
 
 
 Re: Задача про числа
Сообщение31.07.2012, 00:42 
Я додумался до того, что если a,b заменить на $x=a+b+\sqrt{a^2+b^2}, y=a+b-\sqrt{a^2+b^2}$
$\\x+y=2(a+b)\\
xy=2ab$
И что где-то здесь "зарыт труп"...но поделить не догадался.

 
 
 
 Re: Задача про числа
Сообщение31.07.2012, 00:50 
Аватара пользователя
Ой... и я не догадался, что $\frac 1 x + \frac 1 y = \frac 1 a + \frac 1 b$ сразу следует из
Shadow писал(а):
$\\x+y=2(a+b)\\
xy=2ab$
Думал, это свойства бесполезные.

 
 
 
 Re: Задача про числа
Сообщение31.07.2012, 10:39 
Аватара пользователя
svv в сообщении #601315 писал(а):
Хе-хе...
Нет, алгоритма у меня не было. Был компьютер

Не, ну это читерство :D
Я вот, олимпиадные задачи никогда на компе так не гоняю из принципа (которые предполагаются для решения на едине с ручкой и бумагой), даже если есть перспектива увидеть ниточку, ведущую к решению :evil:

 
 
 
 Re: Задача про числа
Сообщение31.07.2012, 12:16 
Аватара пользователя
А у нас с Вами, наверное, разные цели. Мне было важно поскорее помочь ТС. :D

 
 
 [ Сообщений: 9 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group