Найдите главный член асимптотики

[nnosipov]

для суммы

$$ S(h)=\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{(h^2+\langle k\sqrt{2}\rangle^2)k^2} $$

при $h \to 0$ (здесь $\langle a \rangle$ обозначает расстояние от $a$ до ближайшего целого числа). Можно также попробовать угадать ответ.

[staric]

nnosipov в сообщении #600676 писал(а):

для суммы

$$ S(h)=\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{(h^2+\langle k\sqrt{2}\rangle^2)k^2} $$

при $h \to 0$ (здесь $\langle a \rangle$ обозначает расстояние от $a$ до ближайшего целого числа). Можно также попробовать угадать ответ.

Не понял, нужен точный коэффициент перед логарифмом? У меня по прикидкам получается что-то типа $-\frac{4\pi^2}{3\ln{(1+\sqrt{2})}}$, хотя "на глаз" он поменьше...

[nnosipov]

staric в сообщении #602646 писал(а):

Не понял, нужен точный коэффициент перед логарифмом?

Да, в некотором разумном виде.

staric в сообщении #602646 писал(а):

У меня по прикидкам получается что-то типа $-\frac{4\pi^2}{3\ln{(1+\sqrt{2})}}$, хотя "на глаз" он поменьше...

Действительно, по абсолютной величине он немного поменьше. Было бы интересно увидеть Ваши прикидки.

[staric]

$$ S(h)=\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{(h^2+\langle k\sqrt{2}\rangle^2)k^2}=\sum_{i=1}^\infty \sum_{j=1}^\infty \frac {1}{{k_{i,j}}^2 ( h^2 + (m_{i,j} - k_{i,j}\sqrt{2})^2 )} $$ $$ \sum_{i=1}^\infty \sum_{j=1}^\infty \frac {1}{{k_{i,j}}^2 h^2 + \frac {i^2}{(\frac {m_{i,j}} {k_{i,j}} + \sqrt{2})^2}} \to \sum_{i=1}^\infty \sum_{j=1}^\infty \frac {1}{{v_i }^2(1+\sqrt {2})^{2 j} h^2 + \frac {i^2}{8}} \to \sum_{i=1}^\infty \int_{0}^\infty \frac {1}{{v_i }^2 h^2 \exp {(2 x \ln {(1+\sqrt {2})})} + \frac {i^2}{8}} $$ $$ S(h) \to - \sum_{i=1}^\infty \frac {8 \ln {h}} {i^2 \ln {(1+\sqrt {2})}} = - \frac {4 \pi ^2}{3 \ln {(1+\sqrt {2})}} \ln {h}$$

$m_{i,j} , k_{i,j}$ - решения уравнения Пелля $|m^2 - 2k^2| = i$
Как-то так.

[nnosipov]

Спасибо. Первая стрелочка грубовата. Вполне возможно, это удастся поправить.