Определитель спиральной матрицы

[arqady]

Определим последовательность $\{A_n\}$ спиральных матриц следующим образом:

$$\{A_{n}\}: (1),\left(\begin{array}{ccc}1 & 2\\ 4 & 3\end{array}\right),\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3\\ 8 & 9 & 4\\ 7 & 6 & 5\end{array}\right),...$$

Докажите, что для всех $n\geq2$ верно следующее равенство:

$$\left|A_{n}\right|=\left(-1\right)^{\frac{n\left(n-1\right)}{2}}\cdot 4^{n-1}\cdot\frac{3n-1}{2}\cdot\prod_{k=1}^{n-1}\left(k-\frac{1}{2}\right)$$

[TOTAL]

Воспользуемся тем, что:

1) 1-я, 2-я и n-я строки спиральной матрицы "почти" линейно зависимы

2) если у спиральной матрицы удалить первую строку и последний столбец, то останется спиральная матрица чуть меньшего размера (у которой спираль начинается с другого числа и с правого нижнего угла, а не левого верхнего)

---------------------------------------------------------------------------

Обозначим $A_{n}(K_n)$ - спиральная матрица, которая начинается не с $1$, а с $K_n$ (т.е. в первой строке у неё стоят $K_n, K_n +1, \cdots$). От первой строки отнимем вторую и последнюю с подходящими коэффициентами, занулив в первой строке все элементы, кроме последнего. В результате получим соотношение

$$\left|A_{n}(K_n)\right|=(-1)^{n-1} \cdot 2 \cdot \frac{(3n+2K_n-3)(2n-3)}{7n+2K_n -8} \cdot \left|A_{n-1}(2n + K_n -1)\right|$$

Перепишем его так

$$\left|A_{n}(K_n)\right|=(-1)^{n-1} \cdot 2 \cdot \frac{G_n}{G_{n-1}} \cdot (2n-3) \cdot \left|A_{n-1}(K_{n -1})\right|,$$

где
$G_n=3n+2K_n -3$
$K_{n -1}=2n+K_n -1$

Итого получаем

$$\left|A_{n}(K_n)\right|=\left(-1\right)^{\frac{n\left(n-1\right)}{2}}\cdot 2^{n-1}\cdot \frac{G_n}{G_{1}} \cdot \left|A_{1}(K_1)\right| \cdot \prod_{i=1}^{n-1}\left(2i-1\right),$$

или

$$\left|A_{n}(K_n)\right|=\left(-1\right)^{\frac{n\left(n-1\right)}{2}}\cdot 2^{n-1}\cdot \frac{3n+2K_n -3}{2}\cdot \prod_{i=1}^{n-1}\left(2i-1\right).$$