Значения sin, cos и tg для неострых углов

[BENEDIKT]

Возникла проблема с некоторым вопросом.
В частности, я не могу понять, каким образом вообще можно говорить о $\sin$, $\cos$ и $\tg$ для неострых углов. Если речь идёт о прямом или тупом угле, что имеется в виду под отношением, например, противолежащего катета к гипотенузе, если нет ни того, ни другого? Ведь треугольник с тупым углом не может быть прямоугольным, а у прямого угла оба катета прилежащие...
Этот вопрос особо не проясняется даже в учебнике Погорелова.

[Mathusic]

Косинус - абсцисса точки, лежащей на единичной окружности, синус - ордината.
Похожее определение должно вводиться в школьных учебниках курса алгебры и начал анализа.

[Aritaborian]

BENEDIKT, элементарные определения тригонометрических функций бывают разными. Если через прямоугольный треугольник, тогда, конечно, у вас будут трудности. А как насчёт определения через единичную окружность, абсциссу, ординату и их отношение? Всё должно встать на свои места.

-- 27.07.2012, 20:41 --

(Оффтоп)

Mathusic, вы меня опередили ;-)

[miflin]

Всмотритесь пристальнее в единичную окружность с центром в начале
координат - это первый этап расширения понятия о тригонометрических функциях.
Определения остаются теми же, только появляются отрицательные катеты.
А когда Вы познакомитесь с разложением тригонометрических функций в ряд,
то вообще забудете про прямоугольный треугольник.
Или ещё дальше:
$\displaystyle \sin\varphi=\frac{e^{i\varphi}-e^{-i\varphi}}{2i}$
где i - мнимая единица.

[Shtorm]

BENEDIKT, здесь полезно рассмотреть окружность с радиусом равным единице и с центром, расположенным в начале системы координат. Проведём из центра окружности отрезок под каким-нибудь острым углом до пересечения с окружностью. То есть острый угол образовался с положительным направлением оси OX. Опустим перепендикуляр от точки пересечения с окружностью на ось OX. Получили прямоугольный треугольник. Радиус этой окружности равен 1 и гипотенуза прямоугольного треугольника равна 1. Значит длина прилежащего катета будет представлять собой косинус, а длина противолежащего катета - синус. Теперь начинаем поворачивать этот отрезок (гипотенузу) против часовой стрелки относительно нуля. Острый угол будет возрастать, синус увеличиваться, косинус уменьшаться. Когда угол достигнет 90 градусов между поворачиваемым отрезком и положительным направлением оси OX - то синус будет равен 1, а косинус 0. Продолжаем поворачивать дальше - уже будет тупой угол. Синус уменьшается, косинус увеличивается - ибо теперь мы расматриваем катеты треугольника, который будет расположен во 2-ой четверти. Но угол-то берём - относительно положительного направления оси OX.
Вот так всё и получается.

[Mathusic]

(Aritaborian)

Aritaborian в сообщении #600190 писал(а):

Mathusic, вы меня опередили

Я не нарочно. Честно. Надеюсь вы сможете меня простить

Shtorm в сообщении #600200 писал(а):

здесь полезно рассмотреть окружность с радиусом равным единице и с центром

Думаю, полезнее всего будет посмотреть ввер автору дождаться первого сентября, и на первых же уроках он, вероятно, узнает то, что нужно, ну или заглянуть на первые же страницы Мордковича, например.

[Aritaborian]

miflin в сообщении #600199 писал(а):

Или ещё дальше

А потом будет формула Эйлера, и все вопросы вообще отпадут ;-)

-- 27.07.2012, 21:08 --

(Оффтоп)

BENEDIKT, у вас (полагаю, в России), геометрию всё ещё изучают по Погорелову? Насколько помню, хороший автор. Завидую вам. Видел давеча современные белорусские школьные учебники, это же дикий ужас…

[Shtorm]

Mathusic в сообщении #600211 писал(а):

Думаю, полезнее всего будет посмотреть ввер автору дождаться первого сентября, и на первых же уроках он, вероятно, узнает то, что нужно, ну или заглянуть на первые же страницы Мордковича, например.

Данный автор, всё лето решает школьные задачки. Так что совет ждать 1 сентября может быть и не полезен

[Mathusic]

(Оффтоп)

Shtorm в сообщении #600216 писал(а):

Mathusic в сообщении #600211 писал(а):

Думаю, полезнее всего будет посмотреть ввер автору дождаться первого сентября, и на первых же уроках он, вероятно, узнает то, что нужно, ну или заглянуть на первые же страницы Мордковича, например.

Данный автор, всё лето решает школьные задачки. Так что совет ждать 1 сентября может быть и не полезен

Исходя из того, что ТС проявляет интерес, я очевидным образом полагал, что он воспользуется второй частью совета

[apriv]

miflin в сообщении #600199 писал(а):

Или ещё дальше:
$\displaystyle \sin\varphi=\frac{e^{i\varphi}-e^{-i\varphi}}{2}$

Кстати, не равно.

[Shtorm]

miflin в сообщении #600199 писал(а):

...
Или ещё дальше:
$\displaystyle \sin\varphi=\frac{e^{i\varphi}-e^{-i\varphi}}{2}$
где i - мнимая единица.

Да. Мнимая единица в знаменателе пропущена.

-- Пт июл 27, 2012 22:28:11 --

Mathusic в сообщении #600220 писал(а):

(Оффтоп)

Исходя из того, что ТС проявляет интерес, я очевидным образом полагал, что он воспользуется второй частью совета

(Оффтоп)

Хм...целый ряд экспериментальных данных позволяет сделать предположение о том, что если бы Мордкович у него был - то он бы в него сразу заглянул, а не писал бы здесь на форуме вопрос. Также личным экспериментом (лично мной) было установлено, что скачать бесплатно школьный учебник по математике, если не помнишь фамилию автора - нетривиальная задача в первом приближении

[kw_artem]

BENEDIKT в сообщении #600187 писал(а):

Если речь идёт о прямом или тупом угле, что имеется в виду под отношением, например, противолежащего катета к гипотенузе, если нет ни того, ни другого? Ведь треугольник с тупым углом не может быть прямоугольным, а у прямого угла оба катета прилежащие...

на самом деле то, что синус -- это отношение противолежащего катета к гипотенузе (в прямоугольном треугольнике), есть частный случай теоремы синусов в треугольнике (такая теорема должна быть известна из школьной геометрии). теорема верна для любых треугольников, в которых могут быть и неострые углы, поэтому разговор о синусах можно автоматически вести и для тупых углов

[miflin]

Да, опечатался в спешке. Водрузил i в знаменатель.
Но, думаю, для ТС это был не горячий момент.

[Shtorm]

kw_artem в сообщении #600238 писал(а):

синус -- это отношение противолежащего катета к гипотенузе (в прямоугольном треугольнике), есть частный случай теоремы синусов в треугольнике (такая теорема должна быть известна из школьной геометрии). теорема верна для любых треугольников, в которых могут быть и неострые углы, поэтому разговор о синусах можно автоматически вести и для тупых углов

Дело в том, что данный автор пока не проходил теоремы синусов. По крайней мере недели 3 назад не проходил.

-- Пт июл 27, 2012 23:04:22 --

miflin в сообщении #600240 писал(а):

Да, опечатался в спешке. Водрузил i в знаменатель.
Но, думаю, для ТС это был не горячий момент.

(Оффтоп)

Да. Ему ещё до этой формулы - как до Плутона пешком

[BENEDIKT]

Большое спасибо всем за ответы и разъяснения.

Mathusic в сообщении #600211 писал(а):

Думаю, полезнее всего будет автору дождаться первого сентября

Боюсь, дождаться сентябрьских школьных занятий не представляется возможным, т. к. школа уже позади.

Цитата:

ну или заглянуть на первые же страницы Мордковича

Мордкович имеется. Пока прохожу лишь курс 8 класса. До упомянутых вещей ещё не добрался.

Aritaborian в сообщении #600213 писал(а):

BENEDIKT, у вас (полагаю, в России), геометрию всё ещё изучают по Погорелову?

Честно говоря, не знаю. Скачал Погорелова по совету форумчан.