Задача на доказательство-2

[Mitrius_Math]

Известно, что x_n>0. Доказать, что \lim_{n \to \infty}{x_n}=3, если \lim_{n \to \infty}{(x_n^2-x_n)}=6.

Дано:
1) ( \forall \varepsilon>0 ) \ ( \exists N_1 \in \mathbb{N} ) \ ( \forall n \geq N_1) \ (|x_n^2-x_n-6| < \varepsilon );
2) x_n>0.

Нужно доказать:
( \forall \varepsilon'>0 ) \ ( \exists N_2 \in \mathbb{N} ) \ ( \forall n \geq N_2) \ (|x_n-3| < \varepsilon' ).

Учитывая, что из x_n>0 cледует |x_n+2|>0, возьмём \varepsilon= \varepsilon'|x_n+2|. Тогда утверждение доказано. Верно?

P.S. Cмущает то, что \varepsilon - произвольное положительное число, а оно равно \varepsilon'|x_n+2|, где x_n - член последовательности \{x_n \}. Наверное, зря смущает (число-то произвольное).

[gris]

Немножко рано. Вы пока не указали зависимость $N_2$ от $\varepsilon '$.
Попробуйте решить квадратичное неравенство относительно $x_n$.

[AKM]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Карантин»
по следующим причинам: некорректный набор формул.


Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

-- 26 июл 2012, 22:54 --

Как заметил? Поясняю.
Когда $\LaTeX$ компилирует, скажем, обычную статью и встречает "Обозначим буковкой \gamma..." он догадывается, что пропущен символ математической моды перед \gamma. Он вставляет доллар и даже пишет "missing $ inserted". В статье он, правда, не догадывается, когда надо отключить эту моду, и получается всякая ерунда. Здесь же известно, когда отключить ([/mаth]), и даже вся формула может получиться вполне корректной на вид.

Когда же он видит что-то вроде x_..., то он соображает о математической моде лишь увидев символ подчёркивания. Икс остаётся "нематематическим".

Я охренел, когда увидел, что автор со стажем в 431 сообщение, и пишущий в основном в математике, не ставит доллары в формулах. А, видимо, ручками окружает их тэгом. Чего делать вовсе не нужно.