Матричные уравнения

[Fi]

Вот задача, например:
---------------------------------
Найти матрицу Х 2х2
где
cos(X)=(1,1 # -1,-1 ) = A
# - разделитель строк

Решаю:
1) Нашёл J - жорданову форму матрицы A
2) Нашёл С такие что С^(-1)*А*С=J
3) Что дальше делать?
---------------------------------

Или задача такого типа: X^2+X+E=0
Или Х*A*X=B

Я так догадываюсь что они одного типа, но не догадываюсь как их решать.
Буду рад если дадите алгоритм или ссылки на электронные варианты алгоритмов решения подобных задач. Ну или набросаете решение "на пальцах". Вот.

[Lion]

Насколько я понимаю, в первой задаче необходимо записать, что $X=\arccos J$, разложить функцию $\arccos$ в ряд Тейлора и в явном виде посчитать $X$ (правда, в жоржановом базисе). Ряд будет конечен, поскольку матрица $J$ нильпотентна.

Насчет матричных квадратных уравнений: вообще, эта задача в общем виде не решена. Но для матриц 2х2 она решается так: пусть есть общее квадратное уравнение $X^2+PX+Q=0$. Ищем корни уравнения $\det(\lambda^2E+\lambda P+Q)=0$. Оно в общем случае имеет 4 корня. Ищем соответствующие "собственные векторы", и тогда если $v_i=\left(\begin{smallmatrix}v_{i1}\\ v_{i2}\end{smallmatrix}\right)$, то решениями будут матрицы вида $X_{ij}=\left(\begin{smallmatrix}v_{i1} & v_{j1}\\ v_{i2} & v_{j2}\end{smallmatrix}\right)\left(\begin{smallmatrix}\lambda_i & 0\\ 0 & \lambda_j\end{smallmatrix}\right)\left(\begin{smallmatrix}v_{i1} & v_{j1}\\ v_{i2} & v_{j2}\end{smallmatrix}\right)^{-1}$. Это общий случай, т.е. когда вектора $v_i$ и $v_j$ не коллинеарны.

[Fi]

Спасибо, буду думать.
А по поводу Х*A*X=B?

Добавлено спустя 6 минут 17 секунд:


А где можно почитать обоснование этого метода. И по каким ключевым словам можно поискать его?

[нг]

нг:

Fi
пользуйтесь, пожалуйста, тегом math. Ваши формулы достатчно сложны, чтобы это было необходимо.

[Lion]

Уравнение $XAX=B$ можно свести к уравнению $Y^2=C$, домножив обе части на $A$ и вводя обозначения $XA=Y$, $BA=C$. А такое уравнение решается стандартно: приводим $C$ к жордановому виду, и вперед.

Про уравнение $X^2+PX+Q=0$ можно прочитать в жирнале "Глобус-1", доклад Гельфанда. По-моему, он есть на сайте http://www.mccme.ru

[икс и грек]

Lion писал(а):

поскольку матрица $A$ вырождена, а значит, нильпотентна.

А почему из вырожденности следует нильпотентность?

[Fi]

Цитата:

приводим к жордановому виду, и

Раскладываем квадратный корень в ряд Тейлора?
Или просто решаем треугольную систему уравнений?

[Lion]

икс и грек писал(а):

Lion писал(а):

поскольку матрица $A$ вырождена, а значит, нильпотентна.

А почему из вырожденности следует нильпотентность?

Здесь я немного напутал: нужно взять ЖФ матрицы А: $J=\left(\begin{smallmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0\end{smallmartix}\right)$. Вот она-то нильпотентна.

Fi писал(а):

Раскладываем квадратный корень в ряд Тейлора?
Или просто решаем треугольную систему уравнений?

Можно и так, и так. Но если. например, в ЖНФ матрицы С достаточно много 0, то разумнее раскладывать в ряд. Иначе лучше решить систему уравнений.

[Fi]

Цитата:

ожно и так, и так. Но если. например, в ЖНФ матрицы С достаточно много 0, то разумнее раскладывать в ряд. Иначе лучше решить систему уравнений.

Ага, спасибо. Ещё один вопрос: в какой точке раскладывать функцию в ряд Тейлора?
Допустим, собственные числа все окажутся равными, то тогда понятно, что раскладывать нужно по собственному числу, а затем делить ряд Тейлора на минимальный аннулирующий многочлен.
И после этого значение функции от матрицы равно значению функции-остатка от этой же матрицы.

А если собственные числа окажутся разными?

[ИСН]

Если собственные числа все разные, то дальше и делать нечего: на место каждого числа подставляем функцию от него - считай, нашли функцию от матрицы.