Регуляризованное решение интегрального уравнения 1 рода

[Nizumi]

Помогите построить регуляризованное решение интегрального уравнения 1 рода:

$$ (1)\int_{0}^{1} K(x,s){\cdot}u(s)ds = f(x) $$

$$ K(x,s) = x^2{\cdot}s+1 $$

$$ u(s) = 1 $$

$$ K(x,s), u(s) \Rightarrow f(x) = x^2/2+1$$

$$ w(x) - регуляризованное решение (1)$$

Мои попытки:
1) Я не проверял на то, является ли оператор самосопряжённым, но попробовал регуляризировать как самосопряжённый(так делать конечно же не хорошо). Для этого нужны собственные значения оператора. Получилось одно, равное 0. Т.е. Регуляризировать нормально не получилось. Потому, что слишком грубое отклонения $w(x)$ от $u(x)$:

$$ m(a) = \int_{0}^{1} (u(s)-w(s))^2 dx = 1 $$

2)Регуляризация по Тихонову:

$$ w(a) = (Ia-BA)^{-1}{\cdot}(Bf+a{\cdot}g)=Cf $$

$B$ - оператор сопряжённый к $A$, $C$ - регуляризирующий оператор, $g(x)$ - элемент близкий к $u(x)$. Но как дальше я не совсем понял и сопряжённый оператор не получается найти. Если этот метод подходящий для решения задачи подскажите пожалуйста как дальше.

Может быть есть какие нибудь другие методы решения?

[Nizumi]

Если рассматривать регуляризацию по Тихонову то:

Нашёл только что:
B-сопряжённый к A.

$$ Bu(x)=\int_0^1 K(s, x){\cdot}u(s) ds $$

Т.е. сопряжённый ядром отличается, интегрируем его уже не по второй входящей переменной, а по первой.

$$ BAu(x)=\int_0^1 \int_0^1 (s^4{\cdot}x{\cdot}t+s^4{\cdot}(t+x)+1){\cdot}u(t) dt ds $$

Пусть g константа близкая к 1.

$$ Bf=(x{\cdot}13/10+7/6) $$

$$ D=(Ia+BA) $$

$$ w(x, a)=D^{-1}(x{\cdot}13/10+7/6+a{\cdot}g) $$

Но:

$$ D^{-1}-? $$

Можно попробовать решать следующее уравнение относительно $w(x, a)$:

$$ Dw(x, a)=(x{\cdot}13/10+7/6+a{\cdot}g) $$

Вот только как его решить?

[Nizumi]

Попытка решать привела к системе интегральных уравнений:

$$ \int_{0}^{1} w(x,a) dx= E_1(a) $$

$$ \int_{0}^{1} x{\cdot}w(x,a) dx= E_2(a) $$

$E_1$ и $E_2$ зависят только от параметра регуляризирования $a$.

[V.V.]

А в каком месте в регуляризации по Тихонову нужно сопряжение? Там, вроде как, звёздочка означает другое.