из параметрического представления в обычное

[mrgloom_]

$ u = c_{1} + x + k_{1}*(x*x + y*y)*x v = c_{2} + y + k_{2}*(x*x + y*y)*y$
как можно получить зависимость x(u,v),y(u,v) и y(x) и v(u)?

как можно проверить последовательность преобразований f(g(x))!=g(f(x))
например
f[]
$ u = c_{1} + x + k_{1}*(x*x + y*y)*x v = c_{2} + y + k_{2}*(x*x + y*y)*y$
g[]
$ u = (m_{11}*x + m_{12}*y + m_{13})/(m_{31}*x + m_{32}*y + m_{33}) v = (m_{21}*x + m_{22}*y + m_{23})/(m_{31}*x + m_{32}*y + m_{33}) $

например в пакете mathematica?

[svv]

Отвечаю только на вопрос "как можно получить зависимость $x(u,v)$, $y(u,v)$", потому что остальных вопросов я не понял.

Обозначим $t=x^2+y^2$. Если бы $t$ было известно, то $x$ и $y$ легко было бы найти (при известных $u$ и $v$, а также константах):
$x=\dfrac{u - c_{1}}{1 + k_{1}t}\;,\quad y=\dfrac{v - c_{2}}{1 + k_{2}t}$ (*)
Возведем в квадрат и сложим, получим уравнение пятой степени относительно $t$:
$t=\dfrac{(u - c_{1})^2}{(1 + k_{1}t)^2}+\dfrac{(v - c_{2})^2}{(1 + k_{2}t)^2}$
Находим $t$ (в общем случае численно) и подставляем в (*). Имеем в виду, что могут быть лишние корни.
Проще — вряд ли. Ведь если бы существовали простые формулы для $x$ и $y$, то можно было бы написать и простую формулу для корня уравнения пятой степени, написанного выше.

[mrgloom_]

Цитата:

Имеем в виду, что могут быть лишние корни

ну а как их фильтровать?

Mathematica мне и так выдает решение относительно x,y только там много страниц формул получается и несколько корней как бы, я так понимаю там комплексные корни.При попытке решать с флагом Reals программа уходит в глубокую задумчивость.

почему уравнения больших степеней так непросто решаются? где об это можно почитать?

Цитата:

y(x) и v(u)?

y(x) ну это если принять u,v и всё остальное известными.
v(u) это как например$ x(t)=t ; y(t)=t^2 => y=x^2 $

[svv]

mrgloom_ писал(а):

ну а как их фильтровать?

Получив из какого-то корня $x$ и $y$, проверить, удовлетворяют ли они (с точностью до ошибок округления) исходным уравнениям
$u = c_1 + x + k_1 x(x^2 + y^2)$
$v = c_2 + y + k_2 y(x^2 + y^2)$

mrgloom_ писал(а):

y(x) ну это если принять u,v и всё остальное известными.

По-моему, здесь у Вас идейная ошибка. Давайте рассмотрим более простой пример:
$u=x+y$
$v=x-y$
Тогда
$x=\frac 1 2(u+v)$
$y=\frac 1 2(u-v)$
Вы можете объяснить, что Вы здесь понимаете под $y(x)$ ?
Если $u=7, v=3$, то $x=5, y=2$.
Если $u=6, v=4$, то $x=5, y=1$.
Значит, при $x=5$ значение $y$ может быть $2$, а может быть и $1$. И, скажу по секрету, можно подобрать такие $u$ и $v$, что Вы получите $x=5$ и любое наперед заданное $y$. То есть зависимости $y(x)$ не получается.
Если $u$ и $v$ зафиксировать, то зависимости $y(x)$ опять не получится, так как $x$ и $y$ при заданных $u$ и $v$ вполне определены.
Если же зафиксировать только $u$ или только $v$, то зависимость $y(x)$, наконец-то, можно получить. Но — вот беда — эта зависимость будет разной при фиксированном $u$ и при фиксированном $v$.

[mrgloom_]

svv в сообщении #599668 писал(а):

mrgloom_ писал(а):

ну а как их фильтровать?

Получив из какого-то корня $x$ и $y$, проверить, удовлетворяют ли они (с точностью до ошибок округления) исходным уравнениям
$u = c_1 + x + k_1 x(x^2 + y^2)$
$v = c_2 + y + k_2 y(x^2 + y^2)$

mrgloom_ писал(а):

y(x) ну это если принять u,v и всё остальное известными.

По-моему, здесь у Вас идейная ошибка. Давайте рассмотрим более простой пример:
$u=x+y$
$v=x-y$
Тогда
$x=\frac 1 2(u+v)$
$y=\frac 1 2(u-v)$
Вы можете объяснить, что Вы здесь понимаете под $y(x)$ ?
Если $u=7, v=3$, то $x=5, y=2$.
Если $u=6, v=4$, то $x=5, y=1$.
Значит, при $x=5$ значение $y$ может быть $2$, а может быть и $1$. И, скажу по секрету, можно подобрать такие $u$ и $v$, что Вы получите $x=5$ и любое наперед заданное $y$. То есть зависимости $y(x)$ не получается.
Если $u$ и $v$ зафиксировать, то зависимости $y(x)$ опять не получится, так как $x$ и $y$ при заданных $u$ и $v$ вполне определены.
Если же зафиксировать только $u$ или только $v$, то зависимость $y(x)$, наконец-то, можно получить. Но — вот беда — эта зависимость будет разной при фиксированном $u$ и при фиксированном $v$.

Я не понимаю, невозможность обосновывается тем, что одной точке х будут соответствовать разные у? что если представить конечный результат как систему функций?
и еще вопрос, не всякое параметрическое уравнение можно свести к обычному, т.е. x(t),y(t)=>y(x)?

Цитата:

ну а как их фильтровать?
Получив из какого-то корня и , проверить, удовлетворяют ли они (с точностью до ошибок округления) исходным уравнениям

ну и как они могут не удовлетворять? единственное, что из ответов надо наверно убрать ответы с мнимой частью, только тут остается вопрос, может ли ответ быть без мнимой части, но тем не менее являться комплексным корнем?

[svv]

mrgloom_ писал(а):

Я не понимаю, невозможность обосновывается тем, что одной точке х будут соответствовать разные у? что если представить конечный результат как систему функций?

Тем, что при заданных функциях $u(x, y)$ и $v(x, y)$ выражение $y(x)$ не имеет однозначной интерпретации.

Я предложил Вам в простом случае
$u=x+y$,
$v=x-y$,
где все функциональные зависимости, и прямые и обратные, предельно просты (уже выписаны), самому написать, что такое будет $y(x)$, как Вы это сами понимаете. Напишите в явном виде эту функцию и объясните, из чего Вы исходили.

В предыдущем сообщении я сделал три попытки получить зависимость $y(x)$, и все провалились.
В 1-й попытке значения $u$ и $v$ не фиксировались. Попытка провалилась потому, что при этом данному $x$ может соответствовать любое $y$.
Во 2-й попытке значения $u$ и $v$ фиксировались. Эта попытка провалилась потому, что при фиксированных $u$ и $v$ не остается возможности для изменения $x$, которую мы теперь хотим понимать как независимую переменную.
В 3-й попытке фиксировалось либо $u$, либо $v$. Эта попытка провалилась потому, что получаются различные зависимости $y(x)$, если фиксировать $u$ и если фиксировать $v$. В первом случае получится $y(x)=u-x$, при этом $y$ будет уменьшаться с ростом $x$. Во втором случае получится $y(x)=x-v$, при этом $y$ будет увеличиваться с ростом $x$. То есть это совсем разные зависимости. А так как нет никаких причин $u$ предпочитать $v$ или наоборот, то определенной зависимости $y(x)$ не получается.

Итак, что же в этом простом примере понимаете под $y(x)$ Вы?

[mrgloom_]

тут я тоже не могу сказать, что такое
а мой приведенный пример видимо сводится к простому случаю или просто подстановке.

просто я себе, кроме простых случаев, не представляю, когда например даны функции f(x,t)=0 (или f(x)=f(t)) и f(y,t)=0 (или f(y)=f(t)) и можно вывести зависимость y(x) или хотя бы избавится от t, т.е. получить f(x,y)=0 (или f(x)=f(y)).
т.е. непонятно, есть ли случаи, кроме простых, когда можно из параметрического представления получить зависимость y(x).

но это мы что то отвлеклись, какие вы имели ввиду численные методы для решения уравнения?

как они хотя бы называются в литературе? возможно метод итераций? и он может сойтись не туда?

[AKM]

mrgloom_,

полагаю, второе сообщение темы Что такое карантин... будет полезным чтением. Там написано, что ВСЕ формулы должны быть адекватно оформлены.
Стрелочка кодируется так: \to Или так (п. 7.3).

[svv]

Когда даны зависимости $x(t)$ и $y(t)$, то найти зависимость $y(x)$ иногда легче, иногда труднее, иногда для её выражения не хватает элементарных функций, иногда она имеет несколько ветвей, но принципиально это возможно. Потому что можно по $x$ найти $t$ и потом подставить в $y(t)$.

Но у Вас-то случай не такой! У Вас каждая из переменных $u, v$ зависит не от одной, а от двух переменных $x, y$ (и наоборот). Вам надо понять, что именно это и создает проблему. Я специально привел в пример самый простой случай такого рода. Изучайте его, пока не поймёте, в чём здесь дело.

Попробуйте осознать:
Переменные $x, y$ связаны одной переменной $t$ — значит, они связаны, взаимозависимы. Между ними в принципе можно найти связь $y(x)$.
Переменные $x, y$ "связаны" двумя переменными $u, v$ — значит, они не связаны и не взаимозависимы. Между ними в принципе нельзя найти связи $y(x)$.

[mrgloom_]

да я уже понял, просто думал, что всё таки существуют какие то случаи когда можно.

ради интереса еще спрошу

Цитата:

иногда для её выражения не хватает элементарных функций

как поступают в таких случаях?

про численное решение создам отдельную тему.

[svv]

Веке в семнадцатом-восемнадцатом были разработаны такие методы исследования функций, заданных неявно, и функций, заданных параметрически, что математики не сильно переживают, если явной зависимости найти не удаётся. Эти методы изучаются в стандартном курсе математического анализа.

Второй ответ — изобретается новое обозначение для такой функции. Ну, например, что такое $\sqrt a$? Это значок, придуманный для такого числа $x$, что $x\cdot x=a$. В своё время возникла проблема (неразрешимая), как явно выразить такое число через $a$, пользуясь четырьмя действиями арифметики (а других средств не было).
Вы видите, как эта неразрешимая проблема была решена. Мы просто привыкли к функции, обозначенной этим значком (определённой, в общем-то, неявно!), изучили её свойства, и для нас $\sqrt a$ — это уже "явно".