Собственные значения оператора

[Nizumi]

Помогите пожалуйста найти собственные значения оператора:

$$ Au = \int_{0}^{1} K(x,s){\cdot}u(s)ds $$

$$ K(x, s) = 2{\cdot}( \exp(-\pi^2{\cdot}T){\cdot}\sin(\pi{\cdot}x){\cdot} \sin(\pi{\cdot}s)+ \exp(-(7{\cdot}\pi)^2{\cdot}T){\cdot}\sin(7{\cdot}\pi{\cdot}x){\cdot}\sin(7{\cdot}\pi{\cdot}s))$$

$A$ самосопряжённый, положительный, компактный оператор. $T$ константа.
При этом собственные значения определяются так:

$$Aw=a{\cdot}w$$

$w$ принадлежит области определения $A$. $a$ - константа.

Моя попытка:
Ищем все $w$. Получилось интегральное уравнение Фредгольма 2 рода с вырожденным ядром:

$$(1) a{\cdot}w - Aw=0$$

Неизвестен только метод решения такого уравнения, но известен ответ:

$$w_1=\sin(\pi{\cdot}x)$$

$$w_2=\sin(7{\cdot}\pi{\cdot}x)$$

$$a_1=\exp(-(\pi^2){\cdot}T)$$

$$a_2=\exp(-((7{\cdot}\pi)^2){\cdot}T)$$

Если моя попытка имеет смысл подскажите как решить (1).
Может есть другой способ нахождения собственных значений для такого $A$, подскажите пожалуйста.

[Nizumi]

Собственные числа $a_1$ и $a_2$ мне только что удалось найти самому(помогла книга "Методы решения интегральных уравнений. А.В. Манжиров, А.Д. Полянин", стр. 117-120(про вырожденное ядро в операторах Фредгольма 2 рода)).
А вот $w_1$ и $w_2$ самому найти пока не удалось.

[V.V.]

Nizumi, посмотрите пример на стр. 339 на http://vvtrushkov.narod.ru/ode.pdf

[Nizumi]

V.V., Пример хороший. Эквивалентный пример в ""Методы решения интегральных уравнений. А.В. Манжиров, А.Д. Полянин", стр. 117-120". Вот только по нему не получается найти собственные значения($w_1$ и $w_2$), но собственные числа получается найти($a_1$ и $a_2$).
Может быть можно найти собственные значений ($w_1$ и $w_2$) через собственные числа ($a_1$ и $a_2$)?

[V.V.]

Nizumi, там написано и как собственные функции (нетривиальные решения) искать.

[Nizumi]

Спасибо V.V., собственные значения найдены.
Как раз этим методом, но там системы не получается, а получается 2 частных случая(если как по книжке то ($A_1 = 0$ и $A_2=?$) или (($A_1 = ?$ и $A_2=0$)) ), в каждом из этих случаев получаем $\operatorname{const}\cdot \sin(\pi n x)$, $n=1$ или $n =7$.

[V.V.]

Nizumi, здорово! А Вам что надо?

[Nizumi]

Задача решена, теперь помощь не требуется. Спасибо.