Неравенство... кое-кого

[xmaister]

Пусть $f,g$- неотрицательные непрерывные функции на $[0,+\infty)$. Пусть для некоторого $C\ge 0$ выполняется $f(t)\le C+\int\limits_{0}^{t}f(x)g(x)dx,t\ge 0$. Докажите, что

$$f(t)\le C\exp \left(\int\limits_{0}^{t}g(x)dx\right)$$

для всех $t\ge 0$.

[Dave]

Не кое-кого, а Гронуолла-Беллмана

[xmaister]

Dave, оно

[xmaister]

Доказательство нужно или можно оставить гуглу?

[ewert]

Не знаю, как его модно доказывать (а гуглить лень), но ведь всё же очевидным образом сводится к утверждению: если $w(t)\geqslant\int\limits_0^tw(x)g(x)\,dx$ и $w(0)\geqslant0$, то и дальше $w(t)\geqslant0$. Последнее тривиально на отрезке $t\in[0;\delta]$, для которого $\int\limits_0^{\delta}g(x)\,dx<1$; завершение стандартно. Да, кстати, и непрерывности не обязательны; достаточно, скажем, локальной суммируемости $g(t)$ и ограниченности $f(t)$ (тогда в существенном, конечно).