Топология, порожденная разделяющим семейством полунорм

[xmaister]

Пусть $\mathscr{P}$- счетное разделяющее семейство полунорм на $X$. Тогда топология, порожденная семейством полунорм- метризуема. Почему метрика $d(x,y)=\sum\limits_{i=1}^{\infty}\frac{p_i(x-y)}{2^i(1+p_i(x-y))}, p_i\in\mathscr{P}$- метрика, совместная с топологией, порождаемой этими полунормами?

[Someone]

Потому что она непрерывная в этой топологии.

[Oleg Zubelevich]

вообще-то непрерывность это еще не все мало ли непрерывных функций.

А ТС вообще сам над задачами думае или стразу сюда кидает?

[xmaister]

Получается, что если $f:X\to\mathbb{R}$ удовлетворяет свойствам метрики и непрерывна, то она совместима с топологией? Я этого не знал и пытался по рабоче-крестьянски проверять .

-- 22.07.2012, 15:50 --

Oleg Zubelevich в сообщении #597885 писал(а):

А ТС вообще сам над задачами думае или стразу сюда кидает?

Думаю, но не всё идет столь гладко, как хотелось бы

[Someone]

Oleg Zubelevich в сообщении #597885 писал(а):

вообще-то непрерывность это еще не все мало ли непрерывных функций.

Ну, я так понял вопрос о совместности. Непрерывность означает, что все шары $B_r(x_0)=\{x\in X:d(x_0,x)<r\}$, $r>0$, $x_0\in X$, являются открытыми множествами. Нужно ещё проверить, что эти шары образуют базу топологии.

[xmaister]

Я понял, тупо доказал 2 включения.