Игральные кубики (тервер)

[Ktina]

Бросаются $n\in\mathbb N$ игральных кубиков.
Найти математическое ожидание минимального из выпавших значений.

Посчитала для двух кубиков - чисто бухгалтерская задача:

$$\frac{1\cdot 11+2\cdot 9+3\cdot 7+4\cdot 5+5\cdot 3+6\cdot 1}{36}=\frac{91}{36}>2,5$$

Как обобщить на $n$?
Или для каждого $n$ надо отдельно считать?

[--mS--]

Для целочисленной случайной величины $X$ со значениями $1,\dots,6$, принимаемыми с вероятностями $p_1,\ldots,p_6$ соответственно, математическое ожидание есть

$$\mathsf EX = 1\,\cdot \,p_1+2\,\cdot\, p_2+3\,\cdot\, p_3 +\ldots+6\,\cdot\, p_6 = (p_1+\ldots+p_6)+(p_2+\ldots+p_6)+(p_3+\ldots+p_6)+\ldots+p_6=$$

$$=\mathsf P(X\geqslant 1) +\mathsf P(X\geqslant 2) +\ldots+\mathsf P(X\geqslant 6)= 1+ \mathsf P(X\geqslant 2) +P(X\geqslant 3) +\ldots+P(X\geqslant 5) +\mathsf P(X=6).$$

Эти вероятности ищутся просто: $\mathsf P(X\geqslant 2)=\frac{5^n}{6^n}$ - это вероятность, что нет единиц после $n$ бросков, $\mathsf P(X\geqslant 3)=\frac{4^n}{6^n}$ - это вероятность, что нет единиц и двоек, и т.д.

[Whitaker]

Красивое решение у Вас --mS--

-- Вс июл 22, 2012 13:04:19 --

Если не ошибаюсь, но ведь $\mathsf P\{X \geqslant 3\}=\frac{4^n}{6^n}$ ??!

[--mS--]

Разумеется. Копи-паст... Исправила.

[Ktina]

Спасибо за помощь!

-- 22.07.2012, 14:23 --

Вот такая зависимость получается.
Ожидание стремится к 1 при стремлении $n$ к бесконечности.

[--mS--]

Ну, то, что матожидание стремится к единице, очевидно и безо всяких подсчётов: минимум ограниченных снизу с.в. сходится по распределению к нижней границе, и его матожидание - из-за их ограниченности ещё и сверху - туда же.