экстремали функционала при условии функциональной связи

[Sverest]

Найти экстремали функционала

$J(y_1, y_2)=\int_0^1 \sqrt {1+y_1'^2+y_2'^2}dx$

$y_1(0)=1, y_2(0)=2, y_1(1)=2, y_2(1)=1$

при условии $2y_1-y_2-3x=0$

Введем вспомогательный функционал:

$L^{*}= \int_0^1 (\sqrt {1+y_1'^2+y_2'^2}+ \lambda(x) 2y_1-y_2-3x)dx$

составим уравнение Эйлера:
$ \left\{\begin{matrix} \lambda(x)2y_1-y_2-3x-\frac{d}{dx}\frac{y'}{1+y_1'^2+y_2'^2}\\ 2y_1-y_2-3x=0 \end{matrix}\right.$

Составил правильно?
И как его дальше решать?

[V.V.]

Нет, составили неправильно.
1. Почему $\lambda$ зависит от $x$?
2. Уравнение Эйлера надо выписать и по $y_1$, и по $y_2$.

[ewert]

Пусть это и не спортивно, но я бы сразу сказал, что это -- отрезок прямой...

[Sverest]

$$ \left\{\begin{matrix} \lambda(y)2y_1-y_2-3x-\frac{d}{dx}\frac{y_1'}{1+y_1'^2+y_2'^2}\\ \lambda(y)2y_1-y_2-3x-\frac{d}{dx}\frac{y_2'}{1+y_1'^2+y_2'^2}\\ 2y_1-y_2-3x=0 \end{matrix}\right.$$

Вот так?

[Sverest]

$\displaystyle \\ \lambda(x)*2+\frac{d}{dx}\frac{y_1'}{\sqrt{1+y_1'^2+y_2'^2}}=0\\ \lambda(x)*(-1)+\frac{d}{dx}\frac{y_2'}{\sqrt{1+y_1'^2+y_2'^2}}=0$

или так?