Децкий вопрос про ограниченность множества

[xmaister]

Добрый день. Вопрос вроде совсем простой, но меня интересует, достаточно ли строго я обосновал? Пусть $X$- ТВП, топология на котором порождена разделяющим семейством полунорм $\mathcal{P}$. Тогда $E\subset X$- ограничено т. и т.т. когда каждая $p\in\mathcal{P}$- ограничена на $E$.
Я брал произвольную ону $V$ и элемент из базы $\bigcap\limits_{i=1}^{n}V(p_i,n_i)\subset V$, где $V(p,n)=\left\{x|p(x)<\frac{1}{n}\right\}$. Положив, что $\forall x\in E\forall p_s\in\mathcal{P}\exists M_s: p_s(x)<M_s$. $M=\sup\limits_{1\le i\le n}M_i$, $n'=\sup\limits_{1\le i\le n}n_i$. $x\in E\Rightarrow \forall i\ p_i(x)<M\Rightarrow \forall i\ p_i(x)< M\frac{n'}{n_i}\Leftrightarrow x\in Mn'\bigcap\limits_{i=1}^{n}V(p_i,n_i)$. Т.к. $V(p,n)$- выпуклое, уравновешенное, открытое, то $E$- ограничено. Если $E$- ограничено, то существует $r>0$, такое что $E\subset tV(p,1)$, для каждого $t>r$, значит $p$- ограничено на $E$.