Вырожденный случай для функции правдоподобия.

[antoshka1303]

Помогите понять вырожденный случай.
С невырожденным случаем все понятно.
Пусть дана выборка случайных величин i.i.d. (закон распределения нормальный)
$ \[X = \left\{ {{x_1}...{x_n}} \right\}\]$
тогда для него считаем функцию правдоподобия
$% MathType!MTEF!2!1!+- % feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbdfgBPj % MCPbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaac % H8srps0lbbf9q8WrFfeuY-Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFf % ea0-yr0RYxir-Jbba9q8aq0-yq-He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaa % baqaciGacaGaaeqabaWaaeaaeaaakabbaaaaaaaaxxo8TVF6a8qaba % GaamitaiaacIcacqaH4oqCcaGGPaGaeyypa0JaamiCaiaacIcacaWG % ybGaaiiFaiabeI7aXjaacMcaaaa!43A9! \[L(\theta ) = p(X|\theta )\]$
$% MathType!MTEF!2!1!+- % feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbdfgBPj % MCPbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaac % H8srps0lbbf9q8WrFfeuY-Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFf % ea0-yr0RYxir-Jbba9q8aq0-yq-He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaa % baqaciGacaGaaeqabaWaaeaaeaaakabbaaaaaaaaxxo8TVF6a8qaba % GaamitaiaacIcacqaH4oqCcaGGPaGaeyypa0JaamiCaiaacIcacaWG % ybGaaiiFaiabeI7aXjaacMcacqGH9aqpdaqeWbqaaiaadchacaGGOa % GaamiEamaaBaaaleaacaWGUbaabeaakiaacYhacqaH4oqCcaGGPaaa % leaacaWGUbGaeyypa0JaaGymaaqaaiaad6eaa0Gaey4dIunaaaa!5191! \[L(\theta ) = p(X|\theta ) = \prod\limits_{n = 1}^N {p({x_n}|\theta )} \]$
потом логарифмируем, и находим частную производную и находим приравниваем ее к нулю и
$% MathType!MTEF!2!1!+- % feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbdfgBPj % MCPbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaac % H8srps0lbbf9q8WrFfeuY-Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFf % ea0-yr0RYxir-Jbba9q8aq0-yq-He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaa % baqaciGacaGaaeqabaWaaeaaeaaakabbaaaaaaaaxxo8TVF6a8qaea % qabeaaciGGSbGaai4BaiaacEgacaWGmbGaaiikaiabeI7aXjaacMca % cqGH9aqpciGGSbGaai4BaiaacEgacaWGWbGaaiikaiaadIfacaGG8b % GaeqiUdeNaaiykaiabg2da9maaqahabaaaleaacaWGUbGaeyypa0Ja % aGymaaqaaiaad6eaa0GaeyyeIuoakiGacYgacaGGVbGaai4zaiaadc % hacaGGOaGaamiEamaaBaaaleaacaWGUbaabeaakiaacYhacqaH8oqB % caGGSaGaeq4WdmNaaiykaaqaaiabeY7aTjaacYcacaaMf8Uaamioei % aaywW7cqaHdpWCaaaa!649C! \[\begin{array}{l} \log L(\theta ) = \log p(X|\theta ) = \sum\limits_{n = 1}^N {} \log p({x_n}|\mu ,\sigma ) \end{array}\]$
находим
значения
$% MathType!MTEF!2!1!+- % feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbdfgBPj % MCPbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaac % H8srps0lbbf9q8WrFfeuY-Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFf % ea0-yr0RYxir-Jbba9q8aq0-yq-He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaa % baqaciGacaGaaeqabaWaaeaaeaaakabbaaaaaaaaxxo8TVF6a8qaba % GaeqiVd0Maaiilaiabeo8aZbaa!3D0B! \[\mu ,\sigma \]$
Как быть в вырожденном случае, то есть если

$% MathType!MTEF!2!1!+- % feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbdfgBPj % MCPbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaac % H8srps0lbbf9q8WrFfeuY-Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFf % ea0-yr0RYxir-Jbba9q8aq0-yq-He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaa % baqaciGacaGaaeqabaWaaeaaeaaakabbaaaaaaaaxxo8TVF6a8qaba % Gaamiwaiabg2da9maacmaabaGaamiEamaaBaaaleaacaaIXaaabeaa % aOGaay5Eaiaaw2haaaaa!3EE4! \[X = \left\{ {{x_1}} \right\}\]$ ???

[Евгений Машеров]

А что неожиданного? Проводим выкладки, получаем, что матожидание равно единственному наличному значению, дисперсия - нулю. А то, что половина ответа тривиальна, а вторая половина формально верна, но бессмыслена - следствие того, что Вы пытаетесь из одного наблюдения получить оценку сразу двух параметров.
Ну, а для прояснения давайте оживим картинку - положим, что исследователь, обнаружив, что может получить лишь одно измерение, впал в истерику, и записал его в журнал N раз (ну, или не в истерику, а так халтурил). Честно продублировав. Очевидно, функция правдоподобия от таких "N измерений" отличается от полученной по одному измерению лишь множителем N. И столь же очевидно, что любая оценка матожидания будет равна этому одному измерению, а оценка дисперсии - нулю. Независимо от применения оценки - матожидания, моментов и т.п.