Вложенные многоугольники

[Dave]

Внутри круга радиуса $R$ находится выпуклый многоугольник площади $S$. На каждой из сторон этого многоугольника выбрано по одной точке. Эти точки, в том же порядке обхода, как и стороны, на которых они расположены, образуют другой многоугольник. Докажите, что если $P$ - периметр внутреннего многоугольника, то

$$S \leqslant \frac 1 2 PR < \pi R^2.$$

[TOTAL]

Dave в сообщении #596725 писал(а):

Внутри круга радиуса $R$ находится выпуклый многоугольник площади $S$. На каждой из сторон этого многоугольника выбрано по одной точке. Эти точки, в том же порядке обхода, как и стороны, на которых они расположены, образуют другой многоугольник. Докажите, что если $P$ - периметр внутреннего многоугольника, то

$$S \leqslant \frac 1 2 PR < \pi R^2.$$

$S=\sum l_i R \sin(\omega_i) \le \sum l_i R =\frac12 PR=\frac12 (P)R < \frac12 (2 \pi R)R=\pi R^2$

[Dave]

TOTAL в сообщении #599530 писал(а):

$S=\sum l_i R \sin(\omega_i) \le \sum l_i R =\frac12 PR=\frac12 (P)R < \frac12 (2 \pi R)R=\pi R^2$

А что такое $l_i$ и $\omega_i$ ? Да и то, что периметр меньше длины окружности, не очевидно.

[TOTAL]

Dave в сообщении #599860 писал(а):

TOTAL в сообщении #599530 писал(а):

$S=\sum l_i R \sin(\omega_i) \le \sum l_i R =\frac12 PR=\frac12 (P)R < \frac12 (2 \pi R)R=\pi R^2$

А что такое $l_i$ и $\omega_i$ ? Да и то, что периметр меньше длины окружности, не очевидно.

$l_i$ - сторона внутреннего многоугольника
$\omega_i$ - угол между этой стороной и радиусом на соответствующую ей вершину вписанного многоугольника
Периметр внутреннего меньше периметра вписанного и тем более меньше длины окружности

Вот недостающие половинки:
$S=\frac12 \sum l_i R \sin(\omega_i) \le \frac12 \sum l_i R =\frac12 PR=\frac12 (P)R < \frac12 (2 \pi R)R=\pi R^2$

[Mathusic]

Я бы заменил так $S<\frac12 \sum l_ih_i <\frac{1}{2} PR$

TOTAL в сообщении #599530 писал(а):

$S=\sum l_i R \sin(\omega_i)$

А не так $S < \frac{1}{2} \sum l_i R \sin(\omega_i)$?

Причем непонятно, когда достигается равенство для искомого неравенства

[Dave]

TOTAL в сообщении #599923 писал(а):

$S=\frac12 \sum l_i R \sin(\omega_i) \le \frac12 \sum l_i R $

Есть там один неприятный момент, связанный с тем, что центр круга не обязан быть внутри какого-либо из многоугольников.

TOTAL в сообщении #599923 писал(а):

Периметр внутреннего меньше периметра вписанного и тем более меньше длины окружности

Это верно, но я имел ввиду, что сам по себе факт, что из двух вложенных друг в друга выпуклых многоугольников внешний имеет больший периметр, не очевиден и имеет красивое доказательство.
Кстати говоря, в условии и не говорится, что внешний многоугольник - вписанный, он просто находится внутри (но может иметь точки, лежащие на границе круга).

Mathusic в сообщении #599970 писал(а):

Я бы заменил так $S<\frac12 \sum l_ih_i <\frac{1}{2} PR$

Равенства там нестрогие.

Mathusic в сообщении #599970 писал(а):

Причем непонятно, когда достигается равенство для искомого неравенства

В общем случае этот вопрос достаточно сложен. Ну, во-первых, внешний многоугольник должен быть именно вписанным, а не просто лежать внутри окружности. Во-вторых, даже это не даёт гарантии, что можно подобрать точки на его сторонах (вершины внутреннего многоугольника) так, чтобы стороны внутреннего были перпендикулярны радиусам, проведённым из центра в соответствующие вершины внешнего многоугольника, а как видно из доказательства, равенство достигается только в этом случае.
Когда у многоугольников чётное число сторон, то необходимым (но не достаточным) условием существования соответствующего внутреннего многоугольника для заданного внешнего является то, что сумма квадратов его чётных сторон равна сумме квадратов нечётных (т.е., к примеру, в прямоугольник, не являющийся квадратом, вписать уже не получится).
В случае нечётного числа сторон такое ограничение на длины сторон отутствует. Но, опять же, если не прибегать к обобщениям типа того, что точки могут лежать на продолжениях сторон, а не только внутри сторон внешнего многоугольника или совпадать с его вершинами, а при вычислении периметра внутреннего многоугольника тогда некоторые из длин сторон должны браться отрицательными, то нет гарантии, что можно достичь равенства $S=\frac 1 2 PR$.
Здесь пример для числа сторон, равного $3$. Он показывает, что равенство всегда достигается, когда данный внешний треугольник - остроугольный и достигается в расширенном смысле, когда он - прямоугольный или тупоугольный.
См. также теорему Фаньяно.

[Mathusic]

Dave в сообщении #600274 писал(а):

Равенства там нестрогие.

Ага, понятно. С примером уж точно верю

[ewert]

Dave в сообщении #600274 писал(а):

сам по себе факт, что из двух вложенных друг в друга выпуклых многоугольников внешний имеет больший периметр, не очевиден

Чем не очевиден? Как минимум он необходим для формального определения длины той же окружности. Т.е. если мы вообще упоминаем длину окружности, то этот факт априори считается уже известным.

[Dave]

ewert в сообщении #600324 писал(а):

Dave в сообщении #600274 писал(а):

сам по себе факт, что из двух вложенных друг в друга выпуклых многоугольников внешний имеет больший периметр, не очевиден

Чем не очевиден? Как минимум он необходим для формального определения длины той же окружности. Т.е. если мы вообще упоминаем длину окружности, то этот факт априори считается уже известным.

В школе (а это была школьная задача ), насколько я помню, длина окружности определяется просто как $2 \pi R$. При этом как аксиома принимается тот факт, что длина любой кривой, отличной от отрезка, соединяющей две точки, больше длины этого отрезка. В частности, длина хорды всегда меньше длины дуги, стягиваемой этой хордой.
В университетском курсе длина окружности определяется как предел последовательности периметров многоугольников, вписанных в эту окружность. А вышеуказанный факт о периметрах вложенных многоугольников можно при этом использовать как вспомогательный. Но он - никак не аксиома, а может быть доказан. См. например, здесь или здесь.

[ewert]

Dave в сообщении #600471 писал(а):

При этом как аксиома принимается тот факт, что длина любой кривой, отличной от отрезка, соединяющей две точки, больше длины этого отрезка.

Это никак не может считаться аксиомой -- это теорема, принимаемая без доказательства. Аксиомой это было бы лишь в том случае, если бы находилось в ряду других аксиом, обеспечивающих корректное определение длины кривой.

Dave в сообщении #600471 писал(а):

Но он - никак не аксиома, а может быть доказан.

Да, но доказательство банально и напрашивается многими способами. Вот два навскидку.

1). Отрежем от внешнего многоугольника кусочек линией, проходящей через одну из сторон внутреннего. Внутренний многоугольник при этом сохранится, внешний так и останется внешним, но его периметр уменьшится (точнее, не увеличится). И так до тех пор, пока не сведём внешний к внутреннему.

2). Потащим одну из вершин внутреннего многоугольника по продолжению одной из сторон наружу; его периметр при этом может лишь увеличиться. Тащить будем до тех пор, пока или эта вершина не сядет на внешний многоугольник, или соседняя с ней вершина не исчезнет (т.е. угол при ней не превратится в развёрнутый). За конечное число таких шагов мы посадим все вершины внутреннего многоугольника на внешний, а в этом случае утверждение можно считать очевидным.

Много чего напрашивается. И в любом случае этот факт можно считать общеизвестным, тем более в рамках данной задачи.