Полунормы в векторном пространстве

[xmaister]

Пусть $\mu_A$- функционал Минковского выпоклого поглощающего множества $A$, я не могу понять, почему для любого $\alpha\in\mathbb{F}$ $\mu_A(\alpha x)=|\alpha|\mu_A(x)$

[Padawan]

Может для любого $\alpha>0$ ?

[xmaister]

Padawan, так утверждается же, что полунормы в ВП это в точности функционалы Минковского выпуклых уравновешенных поглощающих множеств, поэтому, хотелось бы для произвольного $\alpha$.

[Padawan]

Про уравновешенность Вы ничего в стартовом сообщении не написали. Для уравновешенных -- верно.

[xmaister]

Padawan, в упор не понимаю . $\mu_A(\alpha x)=\inf \{t>0|t^{-1}\alpha x\in A\}$. Положу, что $\mathcal{A}_{x}=\{t>0|t^{-1}x\in A\}$, $A$- уравновешено. $t\in\mathcal{A}_{\alpha x}\Leftrightarrow t^{-1}\alpha x\in A\Leftrightarrow (|\alpha |^{-1}t)^{-1}x\in A\Leftrightarrow |\alpha |^{-1}t\in\mathcal{A}_x\Leftrightarrow t\in |\alpha |\mathcal{A}_x$, так что ли?

[xmaister]

Пусть $p$- полунорма на $X$, $B=\{x|p(x)<1\}$. $\mu_B(x)=\inf\{t>0|p(t^{-1}x)<1\}=\inf \{t>0|p(x)<t\}=p(x)$, так?

[Padawan]

Если $A$ уравновешено и $|\varepsilon|=1$, то $x\in A\Leftrightarrow \varepsilon x\in A$. Поэтому при $t>0$

$$t^{-1}\alpha x\in A\Leftrightarrow t^{-1}|\alpha|e^{i\arg\alpha} x\in A\Leftrightarrow t^{-1}|\alpha| x\in A$$

Следовательно
$\mu_A(\alpha x)=\inf \{t>0|t^{-1}\alpha x\in A\}=\inf \{t>0|t^{-1}|\alpha| x\in A\}=|\alpha|\mu_A(x)$.

Upd Исправил

[xmaister]

Padawan в сообщении #596287 писал(а):

$\mu_A(\alpha x)=\inf \{t>0|t^{-1}\alpha x\in A\}=\inf \{t>0|t^{-1}|\alpha| x\in A\}=|\alpha|\mu_A(\alpha x)$.

У вас, наверное, описка после третьего равенства. А так я вроде бы разобрался, спасибо!

[xmaister]

Padawan, ещё такой вопрос. Для выпуклого поглощающего $A$ для любого $0\le r\le 1$ имеем $rA\subset A$. В $\mathbb{C}$ в качестве выпуклого поглощающего не уравновешенного множества можно взять например квадрат с центром в точке $(0,0)$?

[xmaister]

Возник вопрос: Какое условие надо наложить на выпуклое поглощающее уравновешенное множество $A\subset X$, чтобы функционал Минковского $\mu_A$ являлся нормой? И ещё это непонятно: Пусть $\mu_A$- функционал Минковского на $X$ выпуклого поглощающего множества $A$, тогда $B=\{x|\mu_A(x)<1\}$ и $C=\{x|\mu_A(x)\le 1\}$- выпуклые и поглощающие. Как показать, что $\mu_B(x)\le \mu_C(x)$ для всех $x\in X$?