Доказать неравенство

[xmaister]

Пусть $f\in C^{1}(a,b),\lim\limits_{x\to a+}f(x)=+\infty,\lim\limits_{x\to b-}f(x)=-\infty$ и $f'(x)+f^2(x)\ge -1$ для любого $x\in (a,b)$. Докажите, что $b-a\ge\pi$ и приведите пример когда $b-a=\pi$

(Источник)

IMC

[mihiv]

Проинтегрируем обе части неравенства

$$\frac {f'(x)}{1+f^2(x)}\geqslant -1$$

от $a$ до $b$,получим:

$$\arctg f(x)|^b_a\geqslant -(b-a)$$

или $b-a\geqslant \pi.$Для $f(x)=-\tg (x),a=-\frac{\pi }2,b=\frac {\pi }2,b-a=\pi .$