Можно ли выбрать 100 последовательных чётных чисел...?

[Ktina]

Можно ли выбрать 100 последовательных чётных чисел и разбить их на пары

$$(a_1, b_1), (a_2, b_2), \dots , (a_{50}, b_{50})$$

так, чтобы каждый из трёхчленов

$$x^2+a_1x+b_1,\quad x^2+a_2x+b_2, \quad \dots , \quad x^2+a_{50}x+b_{50}$$

имел целые корни?

[hippie]

Ответ: Нельзя.

Поскольку и сумма и произведение корней любого из указанных уравнений чётные, то оба его корня чётные. Следовательно все $b_k$ кратны 4. Тогда остальные 50 чисел (т.е. все $a_k$) дают статок 2 при делении на 4. Но тогда у каждого уравнения один из корней кратен 4, а все $b_k$ кратны 8, что невозможно.