2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Заряженные сферы
Сообщение16.07.2012, 17:18 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
dovlato в сообщении #595873 писал(а):
Если вы согласны с тем, что $w=p$, то мы с вами не имеем разногласий.

В этом-то разногласий нет. Но потом, в пересчёте на силу, Вы одну двойку куда-то потеряли.

dovlato в сообщении #595873 писал(а):
Что до вопроса о сфере нулевой толщины.. ну, коли предел приводит к тому же результату - то всё о кей.

Если бы не приводил -- задача была бы некорректной. Но она заведомо корректна, т.к. при энергетическом подходе, притом использующем не напряжённости, а потенциалы, результат от распределения зарядов точно не может зависеть.

В лоб независимость проверяется очень просто. Пусть заряды сосредоточены в шаровом слое с внутренним радиусом $R$ и внешним $R+h$, где $h\ll R$. И пусть $q(r)$ -- суммарный заряд внутри сферы радиуса $r$. Тогда для давления (сдерживающего со стороны внешней поверхности) при $h\to0$ получится:
$$P=\dfrac1{4\pi(R+h)^2}\int\limits_{r=R}^{R+h}\dfrac{q(r)}{r^2}\cdot dq(r)\sim\dfrac1{4\pi R^4}\int\limits_{r=R}^{R+h}q(r)\,dq(r)=\dfrac1{8\pi R^4}\big(q^2(R+h)-q^2(R)\big)=\dfrac{Q^2}{8\pi R^4}.$$
Т.е. давление определяется лишь полным зарядом сферы, но не его распределением по толщине.

 Профиль  
                  
 
 Re: Заряженные сферы
Сообщение16.07.2012, 17:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
ewert в сообщении #595644 писал(а):
Но! тут есть один нюанс. Самое начальное рассуждение формально корректно лишь для равномерного распределения плотности зарядов по толщине (бесконечно тонкого) сферического слоя. И надо ещё доказать, что та самая половинка не зависит от распределения по толщине.

Распределение по толщине можно представить как суперпозицию "ещё более бесконечно" тонких слоёв.

 Профиль  
                  
 
 Re: Заряженные сферы
Сообщение16.07.2012, 17:44 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Munin в сообщении #595893 писал(а):
Распределение по толщине можно представить как суперпозицию "ещё более бесконечно" тонких слоёв.

Да. И даже нужно. И что?

 Профиль  
                  
 
 Re: Заряженные сферы
Сообщение16.07.2012, 19:42 
Заслуженный участник


05/02/11
1270
Москва
Ewert, я привык уже к СИ. Воспроизвёл Ваш вывод, и тут же вычислил $w$. Сошлось: $w=p$! Спасибо.
Неохота уже искать - из-за чего там у меня эта двойка потерялась)). Главное для меня - энергетический метод вполне себя здесь оправдал.
С шаром, следственно, можно, в принципе, поступать по аналогии.

 Профиль  
                  
 
 Re: Заряженные сферы
Сообщение16.07.2012, 20:05 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
dovlato в сообщении #595915 писал(а):
С шаром, следственно, можно, в принципе, поступать по аналогии.

Нет, не совсем по аналогии, а ровно так, как Вы сказали в самом начале: считать распирание каждой следующей чутьсферки внутренним шаром и потом интегрировать по радиусу. Правда, у меня при этом получился несколько дикий (на мой взгляд) результат, я его даже и привести стесняюсь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Заряженные сферы
Сообщение16.07.2012, 21:42 
Заслуженный участник


05/02/11
1270
Москва
ewert в сообщении #595919 писал(а):
dovlato в сообщении #595915 писал(а):
С шаром, следственно, можно, в принципе, поступать по аналогии.

Нет, не совсем по аналогии, а ровно так, как Вы сказали в самом начале: считать распирание каждой следующей чутьсферки внутренним шаром и потом интегрировать по радиусу. Правда, у меня при этом получился несколько дикий (на мой взгляд) результат, я его даже и привести стесняюсь.

Я это и имел в виду: приравнять работу потере энергии поля $$pdV=wdV+dU$$
Второе слагаемое - это изменение (наверное, уменьшение) энергии поля внутри шара. Тут, похоже, свои тонкости. Логично вроде бы считать, что при возрастании $R_0\to R_0+dR$, распределение заряда внутри раздувшегося шара сохранит подобие; то есть каждая внутренняя частица шара пропорционально увеличит своё расстояние от центра. Полный заряд при этом, ес-нно, остаётся постоянным. Вообще-то энергия поля внутри равна $$U(R)=\frac1{8\pi\varepsilon_0}\cdot\int\limits_0^R \frac{q^2(r)}{r^4} dr$$
Я предлагаю ввести параметр $t$, и изменить этот интеграл так, что произойдёт раздувание заряженной области $$U(t,R_0)=\frac1{8\pi\varepsilon_0}\cdot\int\limits_0^{tR_0} \frac{q^2(r/t)}{r^4} dr$$ Мы можем рассматривать это выражение как функцию $t$. При этом $dU=\frac{dU}{dt}\cdot dt=\frac{dU}{dt}\cdot \frac{dR}{R_0}$
Замена $r=t\cdot x; dr=t\cdot dx$ приводит интеграл к виду $$U(t,R_0)=\frac1{8\pi\varepsilon_0 t^3}\cdot\int\limits_0^{R_0} \frac{q^2(x)}{x^4} dx$$
Отсюда производная по $t$ при $t=1$ равна $$\frac{dU}{dt}=-\frac{3}{8\pi\varepsilon_0}\int\limits_0^{R_0} \frac{q^2(x)}{x^4} dx$$
Ну и наконец $$p=w-\frac{3}{8\pi\varepsilon_0}\int\limits_0^{R_0} \frac{q^2(x)}{x^4} dx$$ Всё, устаааааааааал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Заряженные сферы
Сообщение20.08.2012, 13:04 
Заслуженный участник


13/04/11
564
Приведу ответы.

2) $F=\frac{k\pi^2R^4}{3}\,\rho_1\rho_2$.

Эта задача допускает обобщение на случай полушарий разного радиуса $R>r$, равномерно заряженных по объему с плотностями $\rho_1$ и $\rho_2$. Центры полушарий совпадают (соприкасаются плоскостями). В этом случае $F=\frac{k\pi^2}{3}\,\rho_1\rho_2r^3(4R-3r)$.

3) $F=2k\pi^2R^2\,\sigma_1\sigma_2=\frac{kq_1q_2}{2R^2}$.

Интересно, что ответ во второй форме остается верным и в случае, когда секущая плоскость, разделяющая две части сферы, проходит не обязательно через центр. Сила взаимодействия не зависит ни от плотностей заряда $\sigma_{1,2}$, ни от расположения секущей плоскости, а определяется лишь величинами зарядов. Другое обобщение этой задачи -- случай полусфер разного радиуса, но с совпадающими центрами. Как ни странно, но решение в этом случае даже проще, чем у исходной задачи с полусферами равного радиуса. Ответ все тот же:
$F=\frac{kq_1q_2}{2R^2}$,
где $R$ -- радиус большой полусферы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Заряженные сферы
Сообщение30.08.2012, 16:03 
Аватара пользователя


06/01/12
376
California, USA
obar , так как же прийти к ответу на второй вопрос? У меня, к сожалению, никак не получается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Заряженные сферы
Сообщение01.09.2012, 12:00 
Заслуженный участник


13/04/11
564
Из размерных соображений ясно, что электрическое поле, создаваемое одним из полушарий, пропорционально его плотности заряда. Поэтому для силы взаимодействия будем иметь
$$
F=\rho_1\rho_2\int f(\vec{r})\,dV\,,
$$
где интегрирование ведется по одной из половинок шара. Величина $\int f(\vec{r})\,dV$ не зависит от плотности зарядов и может быть вычисленна для случая $\rho_1=\rho_2=\rho$. При этом
$$
\vec{E}=\frac{4\pi}{3}\,k\rho\vec{r}\,,\quad 
F=\frac{4\pi}{3}\,k\rho^2\int r\cos\theta dV=\frac{\pi^2}{3}\,k\rho^2R^4.
$$
т.е. $\int f(\vec{r})\,dV=\frac{\pi^2}{3}\,kR^4$.

В случае полушарий разного радиуса нужно догадаться до одного несложного "трюка". Чтоб понять, в чем он состоит, рассмотрите вначале аналогичную задачу с полусферами.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 24 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group