Старая задача о мощности вентилятора

[Ilia_]

Добрый день.

Есть такая старая задача: во сколько раз нужно увеличить мощность вентилятора, чтобы частота вращения его лопастей возросла в 2 раза.

Правильный ответ, насколько я знаю, "в 8 раз". Рассуждения при этом таковы: мощность вентилятора расходуется на разгон газа, то есть переходит в его кинетическую энергию. Частота вращения выросла в 2 раза $\Rightarrow$ поток вырос в 2 раза $\Rightarrow$ скорость выросла в 2 раза $\Rightarrow$ кинетическая энергия единицы объёма выросла в 4 раза. Умножаем на поток, получаем, что общий расход энергии в единицу времени увеличился в 8 раз, то есть $P\sim\omega^3$.

Теперь, собственно, вопрос. Почему неверна такая цепочка рассуждений: мощность вентилятора расходуется на компенсацию силы трения. Поскольку скорости явно дозвуковые, положим $F_\text{тр}\sim v_\text{лоп}\sim \omega$. А общее расстояние, пройденное точкой на лопасти тоже пропорционально частоте. Отсюда $P\sim F_\text{тр}\cdot dS/dt\sim \omega^2$, и мощность требуется увеличить только в 4 раза.

Поскольку ответы разные, где-то ошибка. А вот где? Нутром чую связь с парадоксом Даламбера...

[worm2]

Наверное тут "оба правы".
Энергия вращения частично расходуется на (1) упорядоченное движение газа (вызывающее ускорение в 2 раза больших масс до скорости, в 2 раза большей), и частично — на (2) неупорядоченное, турбулентные вихри, частично ускоряющие газ и частично его нагревающие.
(1) увеличивает мощность в 8 раз, а (2) — в 4. Кстати, ещё какая-то часть тратится на нагрев подшипников, проводов и бог знает на что ещё, и тут возможна даже линейная или ещё какая-нибудь зависимость.
Какие пропорции в распределении (1), (2), и т.п. были до ускорения, и как эти пропорции изменились после, вряд ли возможно понять без экспериментов или сложных моделей. Возможно, если вентилятор поместить в трубу, преобладающим будет расход по (1) варианту. Но в общем случае правильный ответ: не знаю.

[Евгений Машеров]

Если сила трения - то она от скорости вообще не зависит. А если сила сопротивления воздуха - то зависит квадратично.
У реального (и исправного вентилятора) основное сопротивление - от сопротивления воздуха.

[Munin]

Ilia_ в сообщении #595185 писал(а):

Поскольку скорости явно дозвуковые, положим $F_\text{тр}\sim v_\text{лоп}\sim \omega$.

Переход от линейного закона к квадратичному происходит не на скорости звука, а на переходе от ламинарного течения к турбулентному. То есть, намного раньше. У вентилятора обтекание лопастей турбулентное.

[Батороев]

На уровне догадок: При увеличении скорости колеса в 2 раза в те же 2 раза возрастет скорость молекул воздуха, соответственно, в 4 раза увеличится их кинетическая энергия. При этом и количество молекул воздуха, контактирующих с колесом, увеличится в 2 раза.

-- 19 июл 2012 01:45 --

Кстати, ветрогенераторщики тоже используют такую зависимость, т.е. "при увеличении скорости ветра в 2 раза можно снять энергии в 8 раз больше" (кубическая зависимость).