Метод Лапласа и асимптотика интеграла

[DoolinDalton]

Здравствуйте!
При решении уравнения:

$$y''-2xy'-(1-2i\varepsilon)y=0$$

возникла проблема. Уравнение решалось методом Лапласа, в результате получен интеграл:

$$y(x)=\int\frac{\exp(px-\frac{p^2}{4})}{p^{n+1}}dp,$$

где $n+1=-i\varepsilon+\frac{1}{2}, n \in \mathbb{Z}$

Необходимо найти асимптотику интеграла при $x\rightarrow\mp\infty$. Думаю, здесь необходимо применить метод перевала, но не получается. Помогите пожалуйста!

[sup]

Может проще будет свести к уравнению Риккати и там применить разложение по обратным степеням $x$.
Положим $y=e^z$. Тогда
$z'' +{z'}^2 = 2xz'+1-2i\varepsilon$
Полагая
$z'=2x + a +b/x + \dots$
находим
$z'=2x -(1/2 +i\varepsilon)/x + \dots$
Интегрируя получим асимптотику для $z$, а потом и для $y$

[Vince Diesel]

Возможно, поможет, что

$$ y^{(n+1)}(x)=\int\exp\left(px-\frac{p^2}{4}\right)dp=\sqrt{\pi } e^{x^2} \text{erf}\left(\frac{ p-2 x}2\right)+C $$

[DoolinDalton]

Спасибо за помощь, но необходимо использовать именно методы ТФКП. Вот к примеру в случае $x\rightarrow\p\infty$ решалось так:

$$y(x)=\frac{1}{2\pi i}\int\frac{\exp(px)}{p^{n+1}}dp=\frac{1}{2\pi i}x^n\int\frac{\exp(s)}{s^{n+1}}ds=\frac{x^n}{\Gamma(n+1)},$$

где в интеграле провели замену: $px=s, а затем использовали известное выражение для гамма-функции:

$\frac{1}{\Gamma(n)}=\frac{1}{2\pi i}\int\exp(s)s^{-n}ds$

.
А вот в случае при $x\rightarrow - \infty$ возникает проблема с выбором контура интегрирования.