Сходится ли ряд к рациональному числу

[Mathusic]

Пусть $\{a_n\}$ - последовательность различных целых чисел, а $\rho({a_n})$ - это множество различных простых чисел, входящих в разложение элементов последовательности (то есть это в точности то минимальное множество простых, из которых при помощи умножения могут быть порождены все члены последовательности $\{a_n\}$). Определим $\displaystyle b_n := \sum_{k=1}^{n} {1\over a_k}$

Верны ли следующие утверждения?

1) Если $\rho(\{a_n\})$ конечно, то $\{b_n\}$ сходится.
2) Если $\rho(\{a_n\})$ конечно, и $\{b_n\}$ сходится, то к рациональному числу.
3) Если $\rho(\{a_n\})$ бесконечно, и $\{b_n\}$ сходится, то к иррациональному числу. [до кучи]

Toucan:

По просьбе автора исправлено определение $b_n$

[venco]

Вы случайно не так хотели определить: $\displaystyle b_n := \sum_{n=1}^{\infty} {1\over a_n}$?

[Mathusic]

venco в сообщении #595045 писал(а):

Вы случайно не так хотели определить: $\displaystyle b_n := \sum_{n=1}^{\infty} {1\over a_n}$?

Оу, вы, естественно, правы. Досадная ошибка при наборе.
Позволю себе наглость попросить модератора исправить стартовое сообщение, ибо уже не имею возможности его редактировать.

[arseniiv]

А так и должно быть, что слева $n$ свободна, а справа — связана? И получается, что все $b_n$ друг другу равны.

[Mathusic]

arseniiv в сообщении #595079 писал(а):

А так и должно быть, что слева $n$ свободна, а справа — связана? И получается, что все $b_n$ друг другу равны.

Вы тоже правы. Что-то косяков много.
Должно быть, конечно, $\displaystyle b_n := \sum_{k=1}^{n} {1\over a_k}$

[venco]

Первое тривиально верно, второе точно неверно, да и третье, наверное, неверно.
Хотя, если $a_n$ могут быть отрицательными, то над первым надо ещё подумать...

[venco]

А и не важно, с отрицательными 1) тоже сходится.

[Mathusic]

venco в сообщении #595086 писал(а):

верно, второе точно неверно, да и третье, наверное, неверно

Да, вы правы.
Для последнего утверждения можно привести несложный контрпример.

venco в сообщении #595095 писал(а):

А и не важно, с отрицательными 1) тоже сходится.

Да. Утверждение было бы верно и для последовательностей, в которых присутствует лишь конечное число "копий" некоторых чисел ("Копия - либо само число, либо умноженное на -1"), но в таком виде формулировка была бы не очень.

Интересно, что, например, из утверждения 1) достаточно быстро следует бесконечность простых чисел.