2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Сходится ли ряд к рациональному числу
Сообщение13.07.2012, 14:19 
Аватара пользователя


14/08/09
1140
Пусть $\{a_n\}$ - последовательность различных целых чисел, а $\rho({a_n})$ - это множество различных простых чисел, входящих в разложение элементов последовательности (то есть это в точности то минимальное множество простых, из которых при помощи умножения могут быть порождены все члены последовательности $\{a_n\}$). Определим $\displaystyle b_n := \sum_{k=1}^{n} {1\over a_k}$

Верны ли следующие утверждения?

1) Если $\rho(\{a_n\})$ конечно, то $\{b_n\}$ сходится.
2) Если $\rho(\{a_n\})$ конечно, и $\{b_n\}$ сходится, то к рациональному числу.
3) Если $\rho(\{a_n\})$ бесконечно, и $\{b_n\}$ сходится, то к иррациональному числу. [до кучи]

 i  Toucan:
По просьбе автора исправлено определение $b_n$

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходится ли ряд к рациональному числу
Сообщение13.07.2012, 22:10 
Заслуженный участник


04/05/09
4494
Вы случайно не так хотели определить: $\displaystyle b_n := \sum_{n=1}^{\infty} {1\over a_n}$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходится ли ряд к рациональному числу
Сообщение13.07.2012, 23:32 
Аватара пользователя


14/08/09
1140
venco в сообщении #595045 писал(а):
Вы случайно не так хотели определить: $\displaystyle b_n := \sum_{n=1}^{\infty} {1\over a_n}$?

Оу, вы, естественно, правы. Досадная ошибка при наборе.
Позволю себе наглость попросить модератора исправить стартовое сообщение, ибо уже не имею возможности его редактировать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходится ли ряд к рациональному числу
Сообщение13.07.2012, 23:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
26681
А так и должно быть, что слева $n$ свободна, а справа — связана? И получается, что все $b_n$ друг другу равны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходится ли ряд к рациональному числу
Сообщение13.07.2012, 23:39 
Аватара пользователя


14/08/09
1140
arseniiv в сообщении #595079 писал(а):
А так и должно быть, что слева $n$ свободна, а справа — связана? И получается, что все $b_n$ друг другу равны.

:evil: Вы тоже правы. Что-то косяков много.
Должно быть, конечно, $\displaystyle b_n := \sum_{k=1}^{n} {1\over a_k}$ :roll:

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходится ли ряд к рациональному числу
Сообщение13.07.2012, 23:48 
Заслуженный участник


04/05/09
4494
Первое тривиально верно, второе точно неверно, да и третье, наверное, неверно.
Хотя, если $a_n$ могут быть отрицательными, то над первым надо ещё подумать...

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходится ли ряд к рациональному числу
Сообщение14.07.2012, 00:56 
Заслуженный участник


04/05/09
4494
А и не важно, с отрицательными 1) тоже сходится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходится ли ряд к рациональному числу
Сообщение15.07.2012, 09:32 
Аватара пользователя


14/08/09
1140
venco в сообщении #595086 писал(а):
верно, второе точно неверно, да и третье, наверное, неверно

Да, вы правы.
Для последнего утверждения можно привести несложный контрпример.

venco в сообщении #595095 писал(а):
А и не важно, с отрицательными 1) тоже сходится.

Да. Утверждение было бы верно и для последовательностей, в которых присутствует лишь конечное число "копий" некоторых чисел ("Копия - либо само число, либо умноженное на -1"), но в таком виде формулировка была бы не очень.

Интересно, что, например, из утверждения 1) достаточно быстро следует бесконечность простых чисел.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group